5.Формула полной вероятности события. Формула Байеса.

5. Формула полной вероятности события. Формула Байеса.

 

Теорема. Пусть событие B может произойти только с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, то есть . Тогда вероятность события В вычисляется по формуле полной вероятности:

                                                                                                 

Формула Байеса. Если в результате опыта осуществилось событие В, то вероятность «гипотезы»  вычисляется по следующей формуле:

Пример 6.   В магазин поступили соответственно 20, 15, и 10 пальто трех различных фирм. Известно, что доля высококачественных изделий среди продукции первой фирмы в среднем составляет 70%, второй - 80%, третьей – 60%. Наудачу выбранное пальто оказалось плохим. Найти вероятность того, что оно поставлено второй фирмой.

Решение. Для выбранного пальто могут наступить события:    - оно поставлено i–той фирмой, B - оно оказалось плохим. Группа событий:  является полной, причем событие B может появиться только вместе с одним из них. По условию задачи:

Полная вероятность события:

.  

Выбранное пальто оказалось плохим, наступило событие B. Определим вероятность «гипотезы, состоящей в том, что пальто поставлено в магазин второй фирмой» по формуле:

.

6. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Часто практике соответствует схема независимых испытаний Бернулли: проводятся испытания, в которых вероятность появления события («успеха») одна и та же, а исходы независимы друг от друга.

Задача: определить вероятность того, что при испытаниях событие произойдет раз (не произойдет раз). При этом не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, при  один «успех» может быть реализован следующим образом . (Противоположным событию  называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие ).

Для общего случая вероятность  «успехов» из  испытаний равна

 где C_n (k)- число сочетаний из  по ,

Пример . Вероятность того, что операционные расходы фирмы в течение 1 месяца не превысят установленный бюджет, равна 0, 75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 месяцев операционные расходы в течение 4-х месяцев из них не превысят норму.

7. Предельные теоремы в схеме Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа).

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (14. 16) при больших значениях п и к представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следую­щей локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА  Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. То­гда вероятность Р_п(к) того, что событие А появится в п испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функ­ции φ (х):

Точность формулы (14. 17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ {х) (см. Приложение 1. В. Е. Гмурман. ТВ и МС)), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. По­скольку функция φ (х) четная, то в таблицах даются ее зна­чения только для положительных значений x; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (14. 17) носит название асимптотической формулы.

Пример 4 . Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0, 3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изде­лий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) р = 0, 7, тогда q = 0, 3; в нашем случае п = 100, к = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ (х); оно равно 0, 0371. Подстановка этого числа в формулу (14. 17) дает приближенное значение искомой вероятности:

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: