Интегральная теорема Лапласа. Тема 1.2. Случайные величины. Понятие случайной величины. Функция распределения.. Дискретная случайная величина.

Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в п испытаниях, когда к изменяется в заданном интервале значений: l < к < m. Соот­ветствующую вероятность обозначают Р_п(l, т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 14. 8. Пусть вероятность р наступления собы­тия А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п ис­пытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

Формула (14. 18), как и (14. 17), применима в случае больших значений п и к. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами для интеграла поскольку соответствующий неопределенный интеграл не вы­ражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении 2. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф (x) для положительных значений верхнего предела интегриро­вания х. Более удобно использовать формулу (14. 18) в виде формулы Ньютона-Лейбница:

 

 

Тема 1. 2. Случайные величины     

1. Понятие случайной величины и закон ее распределения.

2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.

3. Функция распределения и ее свойства.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

5. Плотность распределения и ее свойства.

6. Числовые характеристики случайных величин.

7. Производящая функция.

8. Основные законы распределения случайных величин (биномиальный закон распределения, распределение Пуассона, геометрическое распределение, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения).

Понятие случайной величины. Функция распределения.

Случайная величина X- это переменная, которая может принимать в зависимости от исходов испытаний те или иные случайные значения x_i. Если все значения случайных величин составляют счетное множество, то случайная величина называется дискретной. Ряд количественных показателей экономических систем могут быть рассмотрены как дискретные случайные величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция , которая для любого числа (множество действительных чисел) равна вероятности события , то есть

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 
2.  - неубывающая функция, то есть  если ;
3. ;
4.  непрерывна слева в любой точке х, то есть ;
5. .

 

Дискретная случайная величина.

Закон распределения случайной дискретной величины - связывает между собой значения случайной величины и вероятности принятия случайной величиной ее значений. Он может быть записан в форме таблицы:

 

		..		..		итого
		..		..

 

        Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом распре­деления дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графиче­ски. В случае табличного задания закона распределения дис­кретной случайной величины соответствующая таблица состо­ит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

'

Поскольку в одном испытании случайная величина принима­ет только одно возможное значение, то события Х=х₁, Х=х₂ - ..., Х=х_п образуют полную группу, т. е. сумма их вероятностей равна единице:

p₁ +p₂ + …+p_n = 1.

Если множество возможных значений X дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд вероят­ностей сходится и его сумма равна единице:

p₁ +p₂ +…+ p_n +…= 1.

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины X воз­можного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x₁=20, х₂ =10, х₃=1, х₄ =0. Соответственно их вероятности равны: Таким образом искомый закон распределения имеет вид

X 20 10 1 0

Р 0, 01 0, 02 0, 1 0, 87.

Пример 2. Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. На­удачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распре­деления числа стандартных изделий среди отобранных.

Решение. Случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных — может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения к стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Варьируя значения к от 0 до 3, получаем искомое распреде­ление:

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: