 |
где q=w/w1 – кратность текущего значения частоты относительно основной гармоники.
|
|
|
|
Модуль комплексной величины S(jw) на основной частоте вычисляется по правилу Лопиталя:
Графическое отображение комплексной величины S(jw), её модуля и фазы показано на рис. 2. 5, б, в.
Спектральная плотность S(jw) может быть отображена в комплексной плоскости годографом, который описывает конец вектора S (w) при изменении частоты w в области положительных значений (рис. 2. 5, б).
Рис. 2. 5. Спектральные характеристики апериодической синусоиды:
а – один период синусоиды; б – его спектральная плотность;
в – амплитудный и фазовый спектры
Этот годограф в диапазоне изменения кратности 0£ q£ 2 имеет форму " яблока", размещённого асимметрично во всех квадрантах: в диапазоне изменения кратности 0£ q£ 2 значению q=0 соответствует векторная величина S (0)=0× ejp/2, значению q=1 – S (w1)=0, 01× e-jp/2, а значению q=2 – S (w2)=0× ejp/2 (на кривой годографа точками отмечены значения q, равные 0, 2; 0, 5; 0, 8; 1, 2; 1, 5). В диапазоне 2£ q£ ¥ годограф приобретает вид спирали, размещённой в левой полуплоскости и сворачивающейся к началу координат; значениям q=2, 3, … соответствуют векторы, имеющие модуль, равный нулю: S (w2)=S (w3)=…=0× e±jp/2.
Спектральную плотность S(jw) для отрицательных значений w отображает годограф конца вектора S (-w) – штриховая линия на рис. 2. 5, б. Этот годограф относительно оси абсцисс расположен симметрично годографу, определяемому положительными значениями w, поэтому амплитудный спектр S(w) симметричен относительно частоты w=0 (рис. 2. 5, в).
Фазовый спектр имеет линейный характер со скачкообразным изменением фазы от -p/2 до +p/2 в узлах, определяемых нулевым и целыми значениями кратности, кроме q=±1. При q=1 фаза y(w1)=-p/2, а при q=-1 – y(-w1)=p/2. Особенностью фазового спектра являются скачки фазы, равные 2p, в узлах, определяемых значениями кратности, равными q=±1, 5; ±2, 5; ±3, 5; …
|
|
|
С увеличением k (рис. 2. 6, а) графическое отображение спектральной плотности имеет более сложный вид (рис. 2. 6, б): в диапазоне 0£ q£ 0, 5 конец вектора S (w) описывает окружность неправильной формы, размещённую в правой полуплоскости (на " окружности" точкой отмечено положение конца вектора S (w), соответствующее значению q=0, 25). В диапазоне 0, 5£ q£ 1, 5 годограф имеет форму " яблока", размещённого асимметрично во всех квадрантах: значению q=0 соответствует векторная величина S (0) =0× ejp/2, значению q=1 – S (w1)=0, 02× e-jp/2, а значению q=1, 5 – S (w1, 5)=0× ejp/2 (на кривой годографа точками отмечены значения q, равные 0, 75; 0, 9; 1, 1; 1, 25). В диапазоне 1, 5£ q£ ¥ годограф приобретает вид спирали, размещённой в левой полуплоскости и стремящейся в пределе к началу координат; значениям q=2; 2, 5; 3; 3, 5… соответствуют векторы, имеющие модуль, равный нулю: S (w2)=S (w2, 5)=S (w3)=…=0× e±jp/2.
Амплитудный спектр S(w) симметричен относительно частоты w=0, но нулевые значения S(w) имеются не только в узлах с нулевым и целыми значениям q, но и в узлах со значениями q=±0, 5; ±1, 5; ±2, 5; … (рис. 2. 6, в).
Рис. 2. 6. Спектральные характеристики апериодической синусоиды:
а – два периода синусоиды; б – их спектральная плотность;
в – амплитудный и фазовый спектры
Фазовый спектр имеет линейный характер со скачкообразным изменением фазы от -p/2 до +p/2 в узлах, определяемых нулевым и целыми значениями q, кроме q=±1, а также значениями q=±0, 5; ±1, 5; ±2, 5; ±3; … Особенностью фазового спектра являются скачки фазы, равные 2p, в узлах, определяемых значениями кратности, равными q=±1, 25; ±1, 75; ±2, 25; … При q=1 фаза y(w1)=-p/2, а при q=-1 – y(-w1)=p/2.
Сопоставление графиков амплитудных спектров одного и двух периодов синусоиды показывает, что по мере увеличения k амплитудный спектр концентрируется в более узком частотном диапазоне в областях, примыкающих к значению основной гармоники w1 и её " зеркальному" соответствию -w1. Так, при k=2 максимальное значение S(w) достигается на частотах ±w1 и оно в 2 раза больше, чем при k=1 (рис. 2. 5, в и рис. 2. 6, в), но уже на частотах w±0, 5=±0, 5w1 и w±1, 5=±1, 5w1 модуль спектральной плотности равен нулю. Можно показать, что при k®¥ составляющая амплитудного спектра S(w1) стремится к бесконечности, а это соответствует дискретному спектру непрерывной синусоиды с конечным значением амплитуды на основной частоте.
|
|
|
Пример 2. 5. Определить спектральную плотность отрезка косинусоиды единичной амплитуды частоты 50 Гц, включающего один полный период (рис. 2. 7, а):
|
|
|
