Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Вероятность безотказной работы от времени - Р

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

= 246;

l_c =

i=1

Nil_i

= 22, 4 × 10^-5

ч–1.

По данным табл. 1. 2 и по формуле для экспоненциального закона находится вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и средняя наработка до первого отказа:

Р (200) = e-lct

-22, 4× 10-5× 200

= e

» 0, 956,

1 1

tcp. c

= lc = 22, 4× 10-5

= 4464 ч.

Пример 26

На испытании находилось 1000 однотипных ламп 6Ж4. Число отказавших ламп учитывалось через каждые 1000 часов работы. Требуется определить вероятность безотказной работы, частоту отказов и интенсивность отказов в функции времени, построить графики этих функций. Необходимо также найти среднюю наработку до первого отказа.

Δ t_i, ч	n(Δ t_i)	Δ t_i, ч	n(Δ t_i)
0-1000		13000-14000
1000-2000		14000-15000
2000-3000		15000-16000
3000-4000		16000-17000
4000-5000		17000-18000
5000-6000		18000-19000
6000-7000		19000-20000
7000-8000		20000-21000
8000-9000		21000-22000
9000-10000		22000-23000
10000-11000		23000-24000
11000-12000		24000-25000
12000-13000		25000-26000

Дано:

N₀=1000

Dt=1000 ч Найти:

Р(t)

f(t)

Решение

Определим вероятность безотказной работы.

Р(t)= 𝑁 0 − 𝑛 (𝑡 )

𝑁 0

Р(1000)= ^{1000− 20} = 0, 98; Р(2000)= ^{1000− 45} = 0, 955;

1000 1000

l(t)

Р(3000)= ^{1000− 80} = 0, 92; Р(4000)= ^{1000− 130} = 0, 87;

Tср

Р(5000)= ^{1000− 160} = 0, 84; Р(6000)= ^{1000− 210} = 0, 79;

1000 1000

Р(7000)= ^{1000− 250} = 0, 75; Р(8000)= ^{1000− 290} = 0, 71;

1000 1000

Р(9000)= ^{1000− 340} = 0, 66; Р(10000)= ^{1000− 370} = 0, 63;

1000 1000

Р(11000)= ^{1000− 410} = 0, 59; Р(12000)= ^{1000− 450} = 0, 55

1000 1000

Р(13000)= ^{1000− 500} = 0, 5; Р(14000)= ^{1000− 540} = 0, 46;

1000 1000

Р(15000) = ^{1000− 590} = 0, 41; Р(16000) = ^{1000− 630} = 0, 37;

1000 1000

Р(17000) = ^{1000− 680} = 0, 32; Р(18000) = ^{1000− 720} = 0, 28;

1000 1000

Р(19000) = ^{1000− 770} =0, 23; Р( 20000) = ^{1000− 805} = 0, 19;

1000 1000

Р( 21000) = ^{1000− 840} = 0, 16; Р(22000 ) = ^{1000− 890} = 0, 11;

1000 1000

Р(23000) = ^{1000− 925} = 0, 075; Р( 24000) = ^{1000− 950} = 0, 05

1000 1000

Р( 25000) = ^{1000− 980} =0, 02; Р( 26000) = ^{1000− 1000} = 0

Найдем частоту отказов по формуле:

f(t)= n(Δ t)

N0·Δ t

f(500)= ²⁰

1000 ·1000

f(2500)= ³⁵

= 0, 2·10^-4; f(1500)= ²⁵ 1000 ·1000

= 0, 35·10^-4; f(3500)= ⁵⁰

= 0, 25·10^-4;

= 0, 5·10^-4;

1000 ·1000

f(6500)= ⁴⁰

1000 ·1000

f(8500)= ⁵⁰

1000 ·1000

f(10500)= ⁴⁰

1000 ·1000

= 0, 4·10^-4; f(7500)= ⁴⁰ 1000 ·1000

= 0, 5·10^-4; f(9500)= ³⁰ 1000 ·1000

= 0, 4·10^-4; f(11500)= ⁴⁰

= 0, 4·10^-4;

= 0, 3·10^-4;

= 0, 4·10^-4;

1000 ·1000

f(12500)= ⁵⁰

1000 ·1000

f(14500)= ⁵⁰

1000 ·1000

= 0, 5·10^-4; f(13500)= ⁴⁰ 1000 ·1000

= 0, 5·10^-4; f(15500)= ⁴⁰ 1000 ·1000

= 0, 4·10^-4;

f(16500)= ⁵⁰

1000 ·1000

= 0, 5·10^-4; f(17500)= ⁴⁰ 1000 ·1000

= 0, 4·10^-4;

f(18500)= ⁵⁰ = 0, 5·10^-4; f(19500)= ³⁵ = 0, 35·10^-4;

1000 ·1000

f(20500)= ³⁵

1000 ·1000

f(22500)= ³⁵

1000 ·1000

f(24500)= ³⁰

1000 ·1000

=0, 35·10^-⁴; f(21500)= ⁵⁰

1000 ·1000

= 0, 35·10^-4; f(23500)= ²⁵

1000 ·1000

= 0, 3·10^-4; f(25500)= ²⁰ 1000 ·1000

= 0, 5·10^-4;

= 0, 25·10^-4;

= 0, 2·10^-4.

Найдем интенсивность отказов по формуле:

λ (t) = n(Δ t)

Δ t∙ 𝑁 ср

λ (500) = 20

1000 · 1000 +980

λ (2500) = 35

1000 · 955 +920

λ (4500) = 30

1000 · 870 +840

λ (6500) = 40

1000 · 790 +750

λ (8500) = 50

1000 · 710 +660

λ (10500) = 40

=0, 20·10^-⁴; λ (1500) = 25

1000 · 980 +955

= 0, 37·10^-4; λ (3500) = 50

1000 · 920 +870

= 0, 35·10^-4; λ (5500) = 50

1000 · 840 +790

= 0, 52·10^-4; λ (7500) = 40

1000 · 750 +710

= 0, 73·10^-4; λ (9500) = 30

1000 · 660 +630

= 0, 65·10^-4; λ (11500) = 40

= 0, 26·10^-4;

= 0, 56·10^-4;

= 0, 61·10^-4;

= 0, 55·10^-4;

= 0, 46·10^-4;

= 0, 69·10^-4;

1000 · 630 +600

λ (12500) = 50

1000 · 560 +510

λ (14500) = 50

1000 · 470 +420

1000 · 600 +560

= 0, 93·10^-4; λ (13500) = 40

1000 · 510 +470

= 1, 12·10^-4; λ (15500) = 40

1000 · 420 +380

= 0, 82·10^-4;

= 1·10^-4;

λ (16500) = 50

1000 · 380 +330

λ (18500) = 50

1000 · 290 +240

λ (20500) = 35

1000 · 205 +170

= 1, 41·10^-4; λ (17500) = 40

1000 · 330 +290

= 1, 88·10^-4; λ (19500) = 35

1000 · 240 +205

= 1, 87·10^-4; λ (21500) = 50

1000 · 170 +120

= 1, 29·10^-4;

= 1, 57·10^-4;

= 3, 45·10^-4;

λ (22500) = 35

1000 · 120 +85

= 3, 41·10^-4; λ (23500) = 25

1000 · 85+60

= 3, 45·10^-4;

λ (24500) = 30

1000 · 60+30

= 6, 67·10^-4; λ (25500) = 20

1000 · 30+20

= 8·10^-4;

Значения Р(t), f(t), λ (t), вычисленные для всех Δ t_i.

Δ t_i, ч	Р(t)	f(t), ·10^-⁴ч	λ (t), ·10^-⁴ч
0-1000	0, 98	0, 20	0, 20
1000-2000	0, 955	0, 25	0, 26
2000-3000	0, 92	0, 35	0, 37
3000-4000	0, 87	0, 50	0, 56
4000-5000	0, 84	0, 30	0, 35
5000-6000	0, 79	0, 50	0, 61
6000-7000	0, 75	0, 40	0, 52
7000-8000	0, 71	0, 40	0, 55
8000-9000	0, 66	0, 50	0, 73
9000-10000	0, 63	0, 30	0, 46
10000-11000	0, 59	0, 40	0, 65
11000-12000	0, 55	0, 40	0, 69
12000-13000	0, 50	0, 50	0, 93
13000-14000	0, 46	0, 40	0, 82
14000-15000	0, 41	0, 50	1, 12
15000-16000	0, 37	0, 40
16000-17000	0, 32	0, 50	1, 41
17000-18000	0, 28	0, 40	1, 29
18000-19000	0, 23	0, 50	1, 88
19000-20000	0, 195	0, 35	1, 57

20000-21000	0, 16	0, 35	1, 87
21000-22000	0, 11	0, 50	3, 45
22000-23000	0, 075	0, 35	3, 41
23000-24000	0, 05	0, 25	3, 45
24000-25000	0, 02	0, 30	6, 67
25000-26000		0, 20

1. 2

0. 8

0. 6

0. 4

0. 2

Вероятность безотказной работы от времени - Р

Кол - во часов работы

Частота отказов от времени, f

0. 00006

0. 00005

0. 00004

0. 00003

0. 00002

0. 00001

Кол-во часов работы

Интенсивность отказов от времени, λ

0. 0025000

0. 0020000

0. 0015000

0. 0010000

0. 0005000

0. 0000000

Кол-во часов работы

Найдем среднюю наработку до первого отказа:

m = tk

= ²⁶⁰⁰⁰ = 26; N

= 1000

Δ t

𝑚

𝑛 𝑖 ∙ 𝑡 ср 𝑖

12925000

Tср= 𝑖 =1 =

= 12925

T_ср= 12925

Вывод: Вероятность безотказной работы с увеличением количества часов работы падает линейно на всех промежутках времени. Частота отказов в начале испытания составила 0, 2 · 10^-4. Далее в процессе испытаний частота отказов выросла и держалась в пределах 0, 35·10^-4 – 0, 5 · 10^-4. В конце испытания частота отказов понизилась до

0, 2·10^-⁴

Интенсивность отказов в процессе испытания увеличивалась экспоненциально незначительно. После 20500 часов работы интенсивность отказов резко увеличилась экспоненциально.

Пример 27

В результате наблюдений за 45 образцами радиоэлектронного оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов. Определить: Р(t); f(t); λ (t) в функции времени, построить графики этих функций, а также найти среднюю наработку до первого отказа (T_ср).

Δ t_i, ч	n(Δ t_i)	Δ t_i, ч	n(Δ t_i)
0-5		40-45
5-10		45-50

10-15		50-55
15-20		55-60
20-25		60-65
25-30		65-70
30-35		70-75
35-40		75-80

Решение:

Определим вероятность безотказной работы по формуле:

Р(t)= 𝑁 0 − 𝑛 (𝑡 );

𝑁 0

Р(5) = ^{45− 1} = 0, 98; Р(10) = ^{45− 6} = 0, 87; Р(15) = ^{45− 14} = 0, 69;

45 45 45

Р(20) = ^{45− 16} = 0, 64; Р(25) = ^{45− 21} = 0, 53; Р(30) = ^{45− 27} = 0, 4;

45 45 45

Р(35) = ^{45− 31} = 0, 31; Р(40) = ^{45− 34} = 0, 24; Р(45) = ^{45− 34} = 0. 24;

45 45 45

Р(50) = ^{45− 35} = 0, 22; Р(55) = ^{45− 35} = 0. 22; Р(60) = ^{45− 35} = 0. 22;

45 45 45

Р(65) = ^{45− 38} = 0, 16; Р(70) = ^{45− 41} = 0, 09; Р(75) = ^{45− 44} = 0, 02;

45 45 45

Р(80) = ^{45− 45} =0.

Найдем частоту отказов по формуле:

f(t)= n(Δ t)

N0·Δ t

f(2, 5)= ¹

45·5

f(17, 5)= ²

= 0, 44·10^-2; f(7, 5)= ⁵

45·5

= 0, 88·10^-2; f(22, 5)= ⁵

= 2, 22·10^-2; f(12, 5)= ⁸

45·5

= 2, 22·10^-2; f(27, 5)= ⁶

= 3, 55·10^-2;

= 2, 66·10^-2

45·5

f(32, 5)= ⁴

45·5

= 1, 77·10^-2; f(37, 5)= ³

45·5

= 1, 33·10^-2; f(42, 5)= 0;

f(47, 5)= ¹

45·5

= 0, 44·10^-2; f(52, 5)= 0; f(57, 5)= 0; f(62, 5)= ³

45·5

= 1, 33·10^-2;

f(67, 5)= ³

45·5

= 1, 33·10^-2; f(72, 5)= ³

45·5

= 1, 33·10^-2; f(77, 5)= ¹

45·5

= 0, 44·10^-2.

Найдем интенсивность отказов по формуле:

λ (t) = n(Δ t)

Δ t∙ 𝑁 ср

λ (2, 5) = ¹

5· 45+44

λ (12, 5) = ⁸

= 0, 45·10^-2; λ (7, 5) = ⁵

5· 44+39

= 4, 57·10^-3; λ (17, 5) = ²

= 2, 40·10^-3;

=1, 33·10^-²;

39+31

· 2

31+29

· 2

29+24

24+18

λ (22, 5) = ⁵ =3, 77·10^-²; λ (27, 5) = ⁶

=5, 71·10^-²;

5· 2 5· 2

18+14

14+11

λ (32, 5) = ⁴ = 5·10^-2; λ (37, 5) = ³

= 4, 8·10^-2;

5· 2 5· 2

11+10

λ (42, 5) = 0; λ (47, 5) = ¹ = 1, 90·10^-2; λ (52, 5) = 0; λ (57, 5) = 0;

5· 2

10+7

7+4

λ (62, 5) = ³ =7, 05·10^-²; λ (67, 5) = ³

= 10, 9·10^-2;

5· 2 5· 2

4+1

1+0

λ (72, 5) = ³ = 24·10^-2; λ (77, 5) = ¹

= 40·10^-2.

5· 2 5· 2

Значения Р(t), f(t), λ (t), вычисленные для всех Δ t_i.

Δ t_i, ч	Р(t)	α (t), ·10^-²ч	λ (t), ·10^-²ч
0-5	0, 98	0, 44	0, 45
5-10	0, 87	2, 22	2, 40
10-15	0, 69	3, 55	4, 57
15-20	0, 64	0, 88	1, 33
20-25	0, 53	2, 22	3, 77
25-30	0, 4	2, 66	5, 71
30-35	0, 31	1, 77
35-40	0, 24	1, 33	4, 8
40-45	0, 24
45-50	0, 22	0, 44	1, 90
50-55	0, 22
55-60	0, 22
60-65	0, 16	1, 33	7, 05
65-70	0, 09	1, 33	10, 9
70-75	0, 02	1, 33
75-80		0, 44

Tcp

å nitcpi

= i=1 =

Находим среднюю наработку до первого отказа.

Учитывая, что в данном случае: m=t_k/Δ t=80/5=16;

N₀=45;

имеем:

1* 2. 5 + 5 * 7. 5 + 8 *12. 5 + 2 *17. 5 +... + 3* 62. 5 + 3* 67. 5 + 3* 72. 5 +1* 77. 5

= 31. 72

1. 20

Вероятность безотказной работы от

времени - Р

1. 00

0. 80

0. 60

0. 40

0. 20

0. 00

Кол - во часов работы

Частота отказов от времени, f

0. 040

0. 035

0. 030

0. 025

0. 020

0. 015

0. 010

0. 005

0. 000

Кол-во часов работы

Интенсивность отказов от времени, λ

0. 4500

0. 4000

0. 3500

0. 3000

0. 2500

0. 2000

0. 1500

0. 1000

0. 0500

0. 0000

Кол-во часов работы

Вывод. Вероятность безотказной работы на всем процессе наблюдения уменьшается, а в промежутке наблюдения от 40 до 60 часов работы остановилась на уровне 0, 22.

В промежутке времени от 2, 5 до 12, 5 часов работы частота отказов увеличивалась и достигла 36 · 10^-3 ч. В промежутке от 12, 5 до 17, 5 часов частота отказов уменьшилась до 9 · 10^-3 ч. В промежутке от 17, 5 до 27, 5 часов частота отказов увеличилась до 27 · 10^-3 ч. В промежутке от 27, 5 до 42, 5 часов падает до нуля. В промежутке от 42, 5 до 57, 5 ч частота отказов не превышает 5·10^-3 ч и после 47, 5 часов работы падает до нуля. В промежутке от 57, 5 до 62, 5 часов работы частота отказов увеличилась до 13 · 10^-3 ч и держалась до 72, 5 часов работы наблюдений. В конце испытания частота отказов упала до 4·10^-3 ч.

В процессе наблюдения от 2, 5 до 57, 5 часов интенсивность отказов была в пределах от 0 до 5, 71·10^-2 ч. После 57, 5 часов работы наблюдений интенсивность отказов резко увеличилась и в конце наблюдения достигла 0, 4 ч.

Пример 28

В результате наблюдений за 45 образцами радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех 45 образцов. Требуется определить: Р(t); f(t); λ (t) в функции времени, построить графики этих функций, а также найти среднюю наработку до первого отказа (T_ср).

Δ t_i, ч	n(Δ t_i)
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70

Решение:

Вычислим Р(t) по формуле:

P(t) = (N 0 - n(t))

N 0

P(10) = 45 -19 = 0, 58;

P(40) = 45 - 43 = 0, 04;

P(20) = 45 - 32 = 0, 29;

P(50) = 45 - 43 = 0, 04;

P(70) = 45 - 45 = 0

P(30) = 45 - 40 = 0, 11;

P(60) = 45 - 44 = 0, 02;

Рассчитываем частоту отказов по формуле:

f (t) = n(Dt)

N0Dt

f (5) =

45× 10

= 0, 042;

f (15) =

45× 10

= 0, 029;

f (25) =

45× 10

= 0, 018;

f (35) =

45× 10

= 0, 007;

f (45) =

f (65) =

45× 10

= 0;

= 0, 002;

f (55) =

45× 10

= 0, 002;

Рассчитываем интенсивность отказов по формуле:

l(5) =

10 × æ 45 + 26 ö

l(t) =

= 0, 0535;

n(Dt)

Ncp Dt

l(15) =

10 × æ 26 +13 ö

= 0, 0667;

ç 2 ÷ ç 2 ÷

l(25) =

è ø

10 × æ 13 + 5 ö

= 0, 0889;

l(35) =

è ø

10 × æ 5 + 2 ö

= 0, 0857;

ç 2 ÷ ç 2 ÷

è ø è ø

l(45) =

10 × æ 2 + 2 ö

= 0;

l(55) =

10 × æ 2 +1 ö

= 0, 0667;

ç 2 ÷ ç 2 ÷

è ø

l(65) =

10 × æ 1+ 0 ö

è ø

= 0, 2;

ç 2 ÷

è ø

Значения P(t), α (t), λ (t), вычисленные для всех Δ t_i сведем в таблицу:

Δ t_i, ч	P(t)	α (t), ч	λ (t), ч
0 – 10	0, 58	0, 042	0, 0535
10 – 20	0, 29	0, 029	0, 0667
20 – 30	0, 11	0, 018	0, 0889
30 – 40	0, 04	0, 007	0, 0857
40 – 50	0, 04
50 – 60	0, 02	0, 002	0, 0667
60 – 70		0, 002	0, 2