Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Центральная симметрия. Поворот

Центральная симметрия. Поворот

Определение. Точкиназывают симметричными относительно точкиесли точкаявляется серединой отрезка(рис. 19. 1). Точкусчитают симметричной самой себе.

Например, точки у которых как абсциссы, так и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат (рис. 19. 2).

Рассмотрим фигуру и точку Каждой точке фигуры поставим в соответствие симметричную ей относительно точки точку В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19. 3). Такое преобразование фигуры называют центральной симметрией относительно точки Точку называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры симметричны относительно точки

Теорема 19. 1 (свойство центральной симметрии). Центральная симметрия является движением.

Доказательство: Выберем систему координат так, чтобы центр симметрии совпал с началом координат. Пусть и — произвольные точки фигуры Точки и — соответственно их образы при центральной симметрии относительно начала координат. Имеем:

Мы получили, что то есть центральная симметрия сохраняет расстояние между точками. Следовательно, центральная симметрия является движением.

Следствие. Если фигурысимметричны относительно точки, то

Определение. Фигуру называют симметричной относительно точкиесли для каждой точки данной фигуры точка, симметричная ей относительно точкитакже принадлежит этой фигуре.

Точку называют центром симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет центр симметрии.

Приведем примеры фигур, имеющих центр симметрии.

Центром симметрии отрезка является его середина (рис. 19. 4).

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии (рис. 19. 5).

Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является ее центром симметрии.

Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка прямой, равноудаленной от двух данных, является центром симметрии рассматриваемой фигуры (рис. 19. 6).

Пример №6

Докажите, что образом данной прямой при симметрии относительно точки не принадлежащей прямой является прямая, параллельная данной.

Решение:

Поскольку центральная симметрия — это движение, то образом прямой будет прямая. Для построения прямой достаточно найти две любые ее точки.

Выберем на прямой произвольные точки (рис. 19. 7). Пусть точки — их образы при центральной симметрии относительно точки Тогда прямая — образ прямой

Поскольку углы равны как вертикальные, то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда (рис. 19. 7). Следовательно, по признаку параллельных прямых

Пример №7

Точка принадлежит углу (рис. 19. 8). На сторонах угла постройте такие точки чтобы точка была серединой отрезка

Решение:

Пусть прямая — образ прямой при центральной симметрии относительно точки (рис. 19. 9). Обозначим буквой точку пересечения прямых

Найдем прообраз точки Очевидно, что он лежит на прямой Поэтому достаточно найти точку пересечения прямых

Обозначим эту точку буквой Тогда — искомые точки.

Изучая окружающий мир, мы часто видим примеры проявления симметрии в природе (рис. 19. 10). Объекты, имеющие ось или центр симметрии, легко воспринимаются и радуют взгляд. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре и технике (рис. 19. 11).

На рисунке 19. 12 изображены точки такие, что

Говорят, что точка является образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол

Так же говорят, что точка — это образ точки при повороте вокруг центра по часовой стрелке на угол

Точку называют центром поворота, угол — углом поворота.

Рассмотрим фигуру точку и угол Каждой точке фигуры поставим в соответствие точку являющуюся образом точки при повороте вокруг центра против часовой стрелки на угол (если точка принадлежит фигуре то ей сопоставляется она сама). В результате такого преобразования фигуры получим фигуру (рис. 19. 13). Такое преобразование фигуры называют поворотом вокруг центра против часовой стрелки на угол Точку называют центром поворота.