 |
Пример №16
|
|
|
|
Пример №16
Отрезки 
— высоты остроугольного треугольника 
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника 
в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника 
Решение:
Пусть прямые 
пересекают описанную окружность треугольника 
соответственно в точках 
(рис. 20. 39). Докажем, что 
где точка 
— ортоцентр треугольника 
Имеем: 
Углы 2 и 3 равны как вписанные, опирающиеся на дугу 
Следовательно, 
Тогда в треугольнике 
отрезок 
является биссектрисой и высотой, а следовательно, и медианой. Отсюда 
Аналогично можно доказать, что 
Теперь понятно, что треугольник 
гомотетичен треугольнику 
с центром 
и коэффициентом 2. Тогда радиус описанной окружности треугольника 
в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника 
Осталось заметить, что треугольники 
вписаны в одну и ту же окружность.
|
|
|
