 |
Теоремы сложения и умножения вероятностей
|
|
|
|
Теоретические сведения
Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий А или В.
Произведением событий А и В называется событие А · В, состоя-щее в наступлении событий А и В одновременно.
Если события А и В несовместные, то Р(A + B) =Р(A) + Р(B).
Если события А и В совместные, то Р(A + B) = Р(A) + Р(B) −
− Р(AB).
Если события А и В независимы, то Р(A · B) = Р(A)·Р(B).
Если события А и В зависимы, то Р(A · B) = Р(A) · РА(В), где РА(В) – условная вероятность события В, т.е. вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А.
Вероятность события 
: 
, где − событие, противоположное событию А.
Задача 1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
Решение. Введем обозначения для событий: А – наудачу взятое двузначное число кратно 2, В – наудачу взятое двузначное число кратно 7. Необходимо найти 
, А и В – совместные события, значит, 
. Двузначных чисел всего 90 (это числа от 10 до 99). 45 из этих чисел кратны двум (являются четными), 13 из этих чисел кратны 7 и 7 чисел кратны и 2, и 7, т.е. кратны 14. Таким образом, 
, 
, 
. Следовательно, 
Задача 2. Слово «папаха» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово «папа»?
Решение. Обозначим через A, B, C, D соответственно события: извлечены первая, вторая, третья и четвертая буквы слова папа из набора букв: а, а, а, п, п, х. Для того чтобы найти вероятность 
, найдем вероятности: 
, 
, 
, 
: 
, 
, 
, 
.
Получаем: 
.
Варианты задачи № 2
1. Мастер обслуживает пять станков. 20 % рабочего времени он проводит у первого станка; 10 % − у второго; 15 % − у третьего; 25 % − у четвертого и, наконец, 30 % − у пятого станка. Найти вероятности следующих событий: в данный момент времени мастер находится
|
|
|
а) у второго или пятого станков;
б) ни у первого, ни у третьего, ни у пятого станков.
2. Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 – в фирме А, 8 – в фирме В, 7 – в фирме С. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику в одну и ту же фирму?
3. Два игрока по очереди извлекают шары из коробки, содержащей три белых и четыре красных шара. Выигравшим считается тот, кто первым извлечет белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока. Рассмотреть два случая:
а) извлеченный шар возвращается в коробку;
б) шар не возвращается в коробку.
4. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй вызов – 0,3; третий вызов – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет принят, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
5. По железнодорожному мосту независимо друг от друга производят бомбометание три самолета. Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета равна 0,2; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если для его разрушения достаточно хотя бы одного попадания.
6. В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый мотор в течение часа не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что:
а) в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера;
б) хотя бы один мотор потребует внимания мастера.
|
|
|
7. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго – 0,95, третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.
8. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых пять женщин. В смену работают три инженера. Какова вероятность, что в смену мужчин окажется не более двух?
9. При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях
событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,01; на третьей 0,02; на четвертой – 0,03.
10. Имеется 25 электрических ламп, из которых четыре настольные. Определить вероятность того, что две одновременно взятые лампы окажутся:
а) настольные;
б) не настольные;
в) одна лампа настольная, а другая – не настольная.
11. На каждые 100 деталей, изготовленных на одном станке, в среднем приходится одна деталь с диаметром менее 15,98 мм; четыре детали – от 15,98 мм до 15,99 мм; 25 деталей – от 15,99 мм до 16,00 мм; 40 деталей – от 16,00 мм до 16,01 мм; 27 деталей – от 16,01 мм до 16,02 мм; три детали – от 16,02 мм и более. Деталь считается стандартной, если ее диаметр находится в пределах от 15,98 мм до 16,02 мм. Определить вероятность того, что две взятые наудачу детали будут стандартными.
12. При массовом изготовлении некоторых изделий брак в среднем составляет 2,4 %. Из числа годной продукции 92,3 % составляют изделия первого сорта. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта?
13. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,8; из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.
14. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было ожидать, что среди них хотя бы одно изделие не первого сорта?
|
|
|
15. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более пяти изделий последовательно одно за другим. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Определить вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в партии составляет 4 %.
16. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания при этом выстреле для первого стрелка – 0,75; для второго – 0,8; для третьего – 0,7. Какова вероятность того, что цель поражена при этом хотя бы одним выстрелом?
17. В пачке 10 тетрадей, из которых шесть тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди одновременно взятых наудачу из пачки трех тетрадей хотя бы одна тетрадь окажется в клетку.
18. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9, можно было утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы одно не удовлетворяет стандарту?
19. Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность того, что в первые два дня в августе не будет ни одного дождливого?
20. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Определить вероятность того, что:
а) все три станка в течение часа потребуют внимания рабочего;
б) ни один станок не потребует внимания рабочего;
в) по крайней мере один станок потребует внимания рабочего.
21. В мастерской работают три станка. Для каждого станка вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,8. Определить вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один станок.
22. Билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент знает первый, второй, третий вопросы, соответственно равны 0,9; 0,9; и 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого достаточно знать любые два вопроса.
23. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом:
|
|
|
а) по двум дисциплинам;
б) хотя бы по двум дисциплинам.
24. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятности того, что эта формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.
25. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газеты в первое отделение равна 0,95; во второе – 0,9; в третье – 0,8. Найти вероятность того, что:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
26. Среди 15 лампочек четыре стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу взятых лампочек хотя бы одна нестандартная.
27. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – семь штук, по 75 Вт – 13 штук. Вынуты три лампы. Какова вероятность того, что:
а) они одинаковой мощности;
б) хотя бы одна из них 100 Вт?
28. В коробке 10 красных, три синих и семь желтых карандашей. Наудачу набирают три карандаша. Какова вероятность того, что они все:
а) разных цветов;
б) одного цвета?
29. На складе находятся 10 мешков пшеницы, из них восемь мешков пшеницы первого сорта и два мешка – второго сорта. Найти вероятность того, что:
а) полученные со склада два мешка пшеницы будут первого сорта;
б) хотя бы один мешок второго сорта.
30. Вероятность того, что черенок розы приживается, равна 0,62 для сорта А; 0,48 – для сорта В; 0,92 – для сорта С. Посадили по одному черенку каждого сорта. Какова вероятность того, что приживутся:
а) два черенка;
б) хотя бы один черенок?
2.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 2
1. Что называется суммой а) двух событий; б) трех событий?
2. Что называется произведением а) двух событий; б) трех событий?
3. Что называется разностью двух событий?
4. Какими свойствами обладают операции над событиями?
5. Как определяются а) зависимые события; б) независимые события?
6. Как определяется условная вероятность?
7. Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных случайных событий А и В?
8. Как определить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных случайных событий А и В?
9. Как определить вероятность одновременного появления двух независимых случайных событий А и В?
10. Как определить вероятность одновременного появления двух зависимых случайных событий А и В?
11. Как можно сформулировать условие независимости двух событий?
|
|
|
|
|
|
