 |
Интервальная оценка параметров
|
|
|
|
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Теоретические сведения и примеры решения задач
Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной надежностью 
покрывает заданный параметр.
Доверительный (с надежностью ) интервал для математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней 
при известном теоретическом среднем квадратическом отклонении 
:
,
где 
– точность оценки;
n – объем выборки;
t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором 
;
средняя выборочная вычисляется по формуле 
.
Доверительный (с надежностью ) интервал для математического ожидания а нормально распределенного признака Х по выборочной средней при неизвестном теоретическом среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки 
):
,
где s – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле 
;
находят по таблице при заданных значениях n и s.
Задача 1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если теоретическое среднее квадратическое отклонение 
, средняявыборочная 
, объем выборки равен n = 36.
Решение. Требуется найти доверительный интервал . Для этого найдем величину t из соотношения 
. По таблице А1 Приложения А находим 
. Подставим , , , n = 36 в соотношение для доверительного интервала, получим искомый ответ 
.
Задача 2. Из генеральной совокупности извлечена выборка: 0, 1, 2, 4, 0, 2, 3, 4, 3, 1. Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
|
|
|
Решение. Статистическое распределение выборки в данном случае имеет вид:
| Значение признака, xi | |||||
| Частота, ni |
Вычислим выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Имеем:
,
По таблице А2 Приложения А по заданным значениям 
и n = 10 находим значение , 
.
Найдем искомый доверительный интервал:
.
Подставляя = 2, , s = 0,71, n = 10, получим искомый доверительный интервал 
, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.
Варианты задачи № 8
Исходя из предположения о нормальном распределении данной случайной величины, найти доверительный интервал для среднего значения случайной величины с надежностью 0,95.
1. Даны значения промежуточного времени перерывов в газоснаб-жении N-области, вызванных повреждением на газопроводах среднего и высокого давления (в часах):
| 1,0 | 2,2 | 2,6 | 4,0 | 1,3 | 2,3 | 2,8 | 3,0 | 4,3 | 1,5 | 2,5 |
| 3,0 | 1,5 | 2,5 | 3,0 | 3,4 | 4,0 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,8 | 6,0 |
| 3,0 | 5,0 | 3,0 |
2. Испытания на продолжительность работы радиоламп определенного типа дали следующие результаты (в часах):
3. Измерения времени, необходимого для прохождения всего маршрута автобусом, дали следующие результаты (в минутах):
| 25,0 | 26,6 | 28,6 | 27,2 | 27,0 | 29,4 | 27,0 | 29,0 | 30,8 | 31,0 |
| 34,8 | 35,0 | 34,8 | 36,0 | 37,0 | 36,4 | 37,5 | 38,0 | 31,0 | 29,0 |
| 32,0 | 32,8 | 31,0 | 29,0 | 29,0 |
4. Результаты измерения роста группы студентов дали следующие показатели (в см):
|
|
|
5. Измерения толщины льда в январе в течение ряда лет дали следующие результаты (в см):
6. Для нахождения среднего значения урожайности озимой пшеницы поле фермерского хозяйства разделили на 25 участков, одинаковых по площади. Сплошной учет фактического урожая на каждом участке (урожайность на участке в ц/га) дал следующие результаты:
7. Даны промежутки времени (в часах) восстановления работоспособности системы водопроводов N-области в случае коррозийных повреждений:
| 2,33 | 3,00 | 3,45 | 5,33 | 5,55 | 5,5 | 6,0 | 6,75 | 7,0 | 7,25 |
| 14,0 | 7,0 | 7,5 | 6,0 | 15,0 | 10,58 | 21,0 | 21,0 | 24,0 | 24,5 |
| 10,0 | 11,0 | 6,0 | 7,33 | 11,68 |
8. При 25 независимых измерениях некоторого угла в градусах получены следующие значения:
| 3,1 | 3,3 | 2,9 | 3,0 | 3,1 | 2,8 | 2,7 | 3,1 | 3,2 | 2,9 | 3,0 | 2,9 |
| 2,8 | 2,9 | 3,2 | 3,3 | 2,9 | 3,1 | 3,2 | 3,0 | 2,9 | 3,0 | 2,8 | 3,0 |
| 3,1 |
9. Измерения времени, необходимого для изготовления определенной детали, дали следующие результаты (в минутах):
| 22,2 | 20,0 | 22,0 | 21,8 | 23,0 | 24,2 | 25,0 | 24,6 | 23,8 | 21,0 |
| 24,2 | 22,0 | 23,0 | 22,5 | 21,0 | 21,8 | 23,8 | 24,0 | 23,0 | 24,2 |
| 22,5 | 23,0 | 23,0 | 22,2 | 23,8 |
10. Испытания на продолжительность работы приборов определенного типа дали следующие результаты (в годах):
| 5,0 | 4,8 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 6,1 | 5,0 | 5,2 | 4,8 | 5,4 | 5,8 | 4,8 |
| 5,3 | 4,5 | 5,0 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,6 | 5,4 | 5,6 | 5,3 | 5,6 | 5,3 |
| 5,8 |
11. При разработке норматива времени, необходимого для изготовления определенного изделия, получены следующие данные хронометража (в минутах):
12. При разработке норматива времени на отделочные работы определенного вида были замерены промежутки времени, затрачиваемые различными бригадами, одинаковыми по численности (ч):
|
|
|
13. Проведенные испытания на растяжение образцов конструкционной стали дали следующие результаты для максимального напряжения (кг/см3):
14. Для определения марки цемента были проведены испытания образцов цементного камня на сжатие, которые дали следующие результаты (кг/см2):
15. Оценивается процентное содержание некоторой компоненты в исследуемом материале. Проведенные исследования дали результаты:
| 39,5 | 38,0 | 40,6 | 40,8 | 39,5 | 41,0 | 40,6 | 41,8 | 42,8 | 43,8 |
| 44,0 | 43,5 | 41,8 | 42,8 | 40,6 | 41,8 | 41,0 | 42,5 | 41,8 | 42,8 |
| 41,0 | 44,0 | 43,5 |
16. При измерении производительности агрегата получены следующие результаты (в кг вещества на час работы):
| 14,1 | 10,1 | 14,7 | 13,7 | 14,0 | 14,5 | 14,1 | 13,7 | 12,7 | 14,0 |
| 14,1 | 12,7 | 15,0 | 14,1 | 14,5 | 12,0 | 12,7 | 13,7 | 11,0 | 12,0 |
| 13,7 | 14,0 | 14,1 | 15,0 | 12,7 | 14,1 | 13,0 | 12,7 | 13,7 | 12,0 |
17. Проведены испытания теплоизоляционных свойств нового строительного материала, которые оцениваются условными баллами:
18. Даны значения промежутков времени перерывов в водоснабжении N-области, вызванных повреждениями определенного типа (ч):
| 1,5 | 2,2 | 3,0 | 1,0 | 4,0 | 1,5 | 2,3 | 3,0 | 4,3 | 1,5 |
| 2,5 | 3,0 | 5,0 | 4,3 | 2,3 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 2,0 | 2,3 |
| 3,0 | 6,0 | 5,0 | 2,3 | 2,5 | 3,0 | 4,0 | 3,5 | 3,0 | 4,0 |
19. Из партии бетона для испытания на прочность взяты пробы. Получены следующие результаты (в кг/см2):
| 298,0 | 263,4 | 288,2 | 300,7 | 327,9 | 290,7 | 318,0 | 316,3 | 270,8 |
| 305, | 298,0 | 288,0 | 290,7 | 316,3 | 303,5 | 298,0 | 300,5 | 305,6 |
| 303,1 | 288,0 | 296,0 | 316,3 | 320,5 | 290,7 | 293,2 | 285,5 | 255,0 |
| 295,2 | 299,6 | 205,5 |
20. Измерения времени, необходимого для изготовления определенной детали, дали следующие результаты (в минутах):
|
|
|
21. Измерения времени вынужденного простоя рабочего цеха по вине поставщика дали следующие результаты (в минутах):
| 30,0 | 31,0 | 32,0 | 27,0 | 29,0 | 31,0 | 32,0 | 33,0 | 33,0 | 34,0 |
| 29,0 | 31,0 | 33,0 | 33,0 | 34,0 | 33,0 | 35,0 | 28,0 | 30,0 | 28,0 |
| 28,0 | 30,0 | 31,0 | 34,0 | 32,0 | 34,0 | 32,0 | 36,0 | 31,0 | 27,0 |
22. В течение определенного промежутка времени при измерении влажности воздуха в цехе получены следующие данные (в %):
23. Измерения диаметров головок 20 заклепок дали следующие результаты (в мм):
| 13,20 | 13,12 | 13,17 | 13,21 | 13,17 | 13,22 | 13,27 | 13,22 |
| 13,25 | 13,20 | 13,15 | 13,15 | 13,30 | 13,22 | 13,20 | 13,25 |
| 13,20 | 13,22 | 13,27 | 13,27 |
24. Оценивается процентное содержание некоторой компоненты в исследуемом материале. Проведенные исследования дали результаты:
| 34,0 | 32,0 | 33,5 | 28,5 | 30,0 | 32,0 | 33,5 | 34,0 | 34,5 |
| 35,0 | 30,0 | 32,0 | 33,5 | 34,0 | 34,5 | 34,0 | 36,0 | 35,5 |
| 35,0 | 34,5 | 35,5 | 35,0 |
25. Проведенные измерения погрешности в установке опорных колонн дали следующие результаты (в мм):
| 4,6 | 4,8 | 4,9 | 4,2 | 4,4 | 4,6 | 4,7 | 5,0 | 4,5 | 4,6 |
| 5,0 | 4,2 | 4,4 | 4,5 | 4,6 | 4,9 | 4,8 | 4,5 | 4,6 | 4,5 |
| 4,4 | 4,1 | 4,8 | 4,9 | 4,5 |
26. При отработке технологии производства нового строительного материала сделано 30 проб, и получены следующие значения содержания примесей (в %):
| 1,6 | 1,8 | 1,6 | 2,2 | 1,5 | 1,7 | 2,5 | 1,6 | 2,2 | 2,5 | 1,5 |
| 1,8 | 2,3 | 3,0 | 2,8 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 2,5 | 2,0 | 2,3 | 2,0 |
| 2,9 | 2,8 | 1,5 | 1,8 | 2,0 | 2,2 | 2,3 | 2,6 |
27. Время, затрачиваемое на бурение шпуров в скальной породе при независимых испытаниях, оказалось следующим (в минутах):
| 10,0 | 10,3 | 11,0 | 11,3 | 11,0 | 11,3 | 12,0 | 13,0 | 11,0 | 11,3 |
| 10,3 | 11,0 | 11,3 | 12,0 | 13,0 | 13,5 | 10,3 | 11,0 | 11,3 | 12,0 |
| 13,0 | 11,0 | 11,3 | 12,0 | 13,5 |
28. Результаты измерения момента инерций кулачкового механизма при вращении вокруг рабочей оси оказались таковы (в кг∙м)
| 12,0 | 13,0 | 12,8 | 13,3 | 13,2 | 14,0 | 13,3 | 14,0 | 13,0 | 15,0 |
| 13,2 | 13,0 | 15,0 | 14,0 | 14,8 | 15,8 | 16,0 | 14,8 | 16,0 | 13,0 |
| 15,0 | 15,8 | 14,8 | 14,0 | 16,0 | 14,8 | 16,0 | 13,0 | 15,0 | 15,8 |
| 14,8 | 16,0 | 17,0 | 18,0 | 17,0 | 15,8 | 16,6 | 16,6 | 15,5 | 14,8 |
29. Измерения времени, необходимого для прохождения маршрута Бийск - Барнаул автобусом, дали следующие результаты (в минутах):
30. Службой контроля проверен расход электроэнергии в течение месяца в 20 наудачу выбранных квартирах, в результате чего были получены следующие значения (кВт/ч):
|
|
|
8.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 8
1. В чем состоит разница в понятиях: «выборочная характеристика» и «теоретическая характеристика»?
2. Что такое точечная оценка параметра распределения?
3. Как определяется выборочная средняя?
4. Что характеризует выборочная средняя?
5. Как определяется выборочная дисперсия?
6. Что характеризует выборочная дисперсия?
7. Какие требования предъявляются к оценкам параметров?
8. Как определяется несмещенная статистическая оценка?
9. Что является несмещенной оценкой для: а) теоретической (генеральной) средней; б) теоретической (генеральной) дисперсии?
10. Как определяется состоятельная статистическая оценка?
11. Как определяется эффективная статистическая оценка?
12. В чем состоит разница в понятиях: «точечная оценка параметра» и «интервальная оценка параметра»?
13. Какая из оценок является более точной: точечная или интервальная?
14. Что называют доверительной вероятностью?
15. Что называют точностью оценки?
16. Влияет ли выбор доверительной вероятности на: а) точечную оценку; б) интервальную оценку?
17. Как изменится доверительный интервал для параметра распределения, если увеличить доверительную вероятность?
18. Как строится доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного признака, если: а) теоретическая дисперсия известна; б) теоретическая дисперсия неизвестна?
|
|
|
