Теоретические сведения и примеры решения задач

Функция распределения системы двух случайных величин (X, Y):

.

Распределение двумерной дискретной случайной величины (X, Y):

.

Распределения компонент двумерной дискретной случайной величины (X, Y):

, i = 1, 2, …

, j = 1, 2, …

Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):

.

Выражение для функции распределения непрерывной случайной величины (X, Y):

Характеристическое свойство плотности совместного распределения (X, Y):

.

Плотности распределения составляющих двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):

,

.

Математические ожидания и дисперсии составляющих двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):

, ,

, .

Корреляционный момент двумерной дискретной случайной величины (X, Y):

.

Корреляционный момент двумерной непрерывной случайной величины (X, Y):

.

Здесь и − математические ожидания составляющих Х и Y соответственно.

Коэффициент корреляции двумерной случайной величины (X, Y):

,

где и – средние квадратические отклонения составляющих Х и Y соответственно.

Условие независимости дискретных случайных величин
Х и Y:

, т.е. .

Условие независимости непрерывных случайных величин
Х и Y:

.

Задача. Случайная величина (Х, Y) равномерно распределена внутри эллипса . Найти: а) плотность совместного распределения (Х, Y), б) плотности распределения и математические ожидания составляющих Х и Y; в) корреляционный момент и коэффициент корреляции Х и Y; г)вероятность попадания (Х, Y) вобласть G, определяемую соотношениями , . Доказать зависимость Х и Y.

Решение. а) В данном случае (с = const) внутри эллипса, вне эллипса . Константу с найдем, воспользовавшись
характеристическим свойством двумерной плотности вероятности , из уравнения

,

или

,

где D – область, ограниченная данным эллипсом.

Известно, что , где – площадь области D. В данном случае . Подставляя это значение в последнее уравнение, выражаем с: . Таким образом, плотность совместного распределения Х и Y имеет вид: .

б) Плотности распределения составляющих Х и Y найдем, взяв интегралы по переменным у и х соответственно:

Математические ожидания составляющих Х и Y системы вычислим следующим образом:

, .

Математические ожидания равны нулю как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах интегрирования.

в) Найдем корреляционный момент системы двух случайных величин Х и Y, для чего воспользуемся формулой:

.

В данном случае имеем: .

Внутренний интеграл представляет собой интеграл от нечетной функции в симметричных пределах интегрирования, он равен нулю, следовательно, корреляционный момент также равен нулю.

г) Определим вероятность попадания (Х, Y) вобласть G, определяемую соотношениями , :

.

 

Случайные величины Х и Y являются зависимыми, так как
не выполняется равенство . В самом деле, .

Варианты задачи № 7

 

Система случайных величин (двумерная случайная величина) (X,Y) задана плотностью распределения р(x,y) в области D. Найти коэффициент А, плотности распределения р₁(x) и р₂(y) составляющих
X и Y, вычислить вероятность попадания величины (X,Y) в область G, то есть P((X,Y)ЄG).

 

№ вар.	р(x,y)	Область D определима неравенствами	Область G

 

 

 

Система случайных величин (двумерная случайная величина) (X,Y) задана плотностью распределения р(x,y) в области D. Найти коэффициент A, M(Y), D(X), D(Y), корреляционный момент µ(x,y) и коэффициент корреляции r_xy.

 

№ вар.	р(x,y)	Область D задана неравенствами

 

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан таблицей. Найти законы распределения составляющих и , математические ожидания дисперсии , корреляционный момент коэффициент корреляции . Найти вероятность попадания случайной величины в область .

№ вар.	Закон распределения случайной величины	Область задана неравенствами
	Y X           -4 0,02 0,03 0,04 0,02 0,01   0,03 0,08 0,10 0,07 0,04   0,04 0,06 0,12 0,09 0,05   0,01 0,02 0,09 0,06 0,02
	Y X -2           0,01 0,02 0,10 0,07 0,02   0,05 0,08 0,12 0,09 0,06   0,02 0,07 0,09 0,06 0,03   0,01 0,03 0,04 0,02 0,01
	Y X -2 -1         -1 0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,02   0,03 0,03 0,05 0,11 0,08 0,06   0,03 0,04 0,06 0,08 0,07 0,05   0,01 0,01 0,02 0,05 0,04 0,03
	Y Х -2           -1 0,01 0,03 0,05 0,09 0,02 0,01   0,03 0,04 0,08 0,12 0,08 0,05   0,02 0,02 0,05 0,09 0,07 0,02   0,01 0,01 0,02 0,04 0,03 0,01
	Y Х -2             0,02 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02   0,06 0,07 0,09 0,06 0,04 0,03   0,05 0,08 0,10 0,05 0,03 0,02   0,03 0,04 0,06 0,02 0,02 0,01

7.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 7

1. Какую случайную величину называют: а) двумерной; б) трехмерной; в) n -мерной?

2. Какая n -мерная случайная величина называется дискретной?

3. Как можно задать закон распределения двумерной дискретной случайной величины?

4. Как, зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, найти законы распределения ее составляющих?

5. Что называется функцией распределения системы случайных величин Х и Y?

6. Сформулируйте свойства функции распределения системы случайных величин Х и Y.

7. Как определить функции распределения составляющих системы случайных величин (Х; Y), зная функцию совместного распределения системы (Х; Y)?

8. Каким образом выглядят формулы попадания случайной величины (Х; Y): а) в полуполосу, параллельную оси О х; б) в полуполосу, параллельную оси О у; в) в прямоугольник?

9. Что называется плотностью совместного распределения системы (Х; Y)?

10. Как определить вероятность попадания непрерывной случайной величины (Х; Y) в область D?

11. Как определить плотности распределения составляющих системы случайных величин (Х; Y), зная плотность совместного распределения системы (Х; Y)?

12. Сформулируйте условие независимости составляющих для: а) непрерывной двумерной случайной величины (Х; Y); б) дискретной двумерной случайной величины (Х; Y).

13. Как выглядят формулы для числовых характеристик составляющих а) непрерывной двумерной случайной величины (Х; Y); б) дискретной двумерной случайной величины (Х; Y)?

14. Для каких целей используются корреляционный момент и коэффициент корреляции?

15. Сформулируйте свойства: а) корреляционного момента;
б) коэффициента корреляции.

16. Какие случайные величины называются: а) коррелированными? б) некоррелированными?

17. Будут ли случайные величины некоррелированными, если они независимы?

18. Будут ли случайные величины коррелированными, если они зависимы?

19. Будут ли случайные величины независимы, если они некоррелированы?

20. Будут ли случайные величины зависимы, если они коррелированы?

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: