Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Элементы теории корреляции




 

Теоретические сведения и примеры решения задач

 

Выборочный коэффициент корреляции:

,

где , - выборочные средние Х и Y;

- среднее значение величины ХY;

, - выборочные
средние квадратические отклонения Х и Y.

Выборочное уравнение регрессии Y на X:

Выборочное уравнение регрессии X на Y:

Для оценки достоверности коэффициента корреляции проверяется гипотеза Н0 об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е. Н0: , по следующей схеме:

а) вычисляется статистика отклонения выборочного коэффициента корреляции от генерального коэффициента корреляции , где n – число наблюдений;

б) по таблице критических точек (двусторонней критической области) распределения Стьюдента (таблица А3 Приложения А) на уровне значимости и при числе степеней свободы находится значение ;

в) если не выполняется неравенство , гипотеза Н0
отвергается, т.е. выборочный коэффициент корреляции существенно

отличается от нуля, что свидетельствует о достоверности коэффициента корреляции.

 

Задача. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (Х) получены статистические данные по 70 предприятиям за год.

 

Y Х тыс. руб
             
               
               
               
               
               
               
               
               

 

Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость, необходимо: а) определить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи; б) оценить достоверность коэффициента корреляции на 5 %-ном уровне значимости; в) найти уравнения прямых регрессии.

Решение. Вычислим средние выборочные и :

Найдем среднее значение величины ХY:

Вычислим дисперсии, а затем средние квадратические отклонения Х и Y:

.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

Полученное значение выборочного коэффициента корреляции показывает, что между переменными Х и Y существует достаточно тесная связь, близкая к линейной. Поскольку , то эта связь возрастающая, т.е. по мере увеличения основных фондов увеличивается объем производства.

Оценим достоверность коэффициента корреляции на 5%-ном уровне значимости. Для этого найдем статистику критерия по формуле :

Для уровня значимости и числа степеней свободы по таблице А3 Приложения А находим критическое значение статистики . Поскольку , то коэффициент корреляции достоверен на 5%-ном уровне значимости.

Выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х имеет вид:

Подставляя все найденные значения в последнее уравнение, получаем:

Аналогично найдем выборочное уравнение прямой регрессии Х на Y:

 

Варианты задачи № 9

 

Для исследования зависимости величины Y от величины Х получено распределение, статистические данные сведены в таблицу. Предполагая, что между Х и Y существует линейная корреляционная зависимость, необходимо:

а) определить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи;

б) оценить достоверность коэффициента корреляции на 5%-ном уровне значимости;

в) найти уравнения прямых регрессии и построить их на одном чертеже,

г) используя соответствующее уравнение регрессии, получить среднюю величину Y, если Х = х 0, или среднюю величину Х, если
Y =y
0.

 

1. Х – расходы фирмы на рекламу (ден. ед.), Y – еженедельные продажи фирмы (ден. ед), ден. ед.

Y X
         
           
           
           
           
           
           

2. Распределение 100 деревьев, Х – диаметр дерева (м), Y – высота дерева (м), м.

 

Y X
0-0,8 0,8-1,6 1,6-2,4 2,4-3,2 3,2-4 4-4,8
0,16-0,22            
0,22-0,28            
0,28-0,34            
0,34-0,4            
0,4 -0,46            
0,46-0,52            
0,52-0,58            
0,58-0,64            

 

3. Распределение 100 шоферов-любителей, Х – возраст шофера (лет), Y – число водителей, использующих ремень безопасности, лет.

 

Y X
0-10 10-20 20-30 30-40 40-45
15-18          
18-21          
21-24          
24-27          
27-30          

 

4. Распределение 116 телевизоров, Х – чувствительность видеоканала (мкВ), Y – чувствительность звукового канала (мкВ), мкВ.

 

Y X
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600
0-100            
100-200            
200-300            
300-400            
400-500            
500-600            

 

5. Распределение 100 предприятий, Х – производительность
труда (тыс. руб./чел.), Y – себестоимость продукции (тыс. руб./изд.), тыс. руб./чел.

 

Y X
2,7-3,2 3,2-3,7 3,7-4,2 4,2-4,7 4,7-5,2 5,2-5,7
2,0-2,6            
2,6-3,2            
3,2-3,8            
3,8-4,4            
4,4-5,0            
5,0-5,6            
5,6-6,2            

 

6. Распределение 100 предприятий, Х – затраты на электроэнергию (тыс. руб./ед. продукции), Y – прибыль от реализации изделия (тыс. руб.), тыс. руб.

 

Y X
6,0-6,8 6,8-7,6 7,6-8,4 8,4-9,2 9,2-10,0
16-20          
20-24          
24-28          
28-32          
32-36          
36-40          

 

7. Распределение 50 школьников, Х – мышечная сила правой кисти рук (кг), Y – мышечная сила левой кисти рук (кг), кг.

Y X
11,8-12,2 12,2-12,6 12,6-13 13-13,4 13,4-13,8 13,8-14,2
13.8-14,2            
14,2-14,6            
14,6-15            
15-15,4            
15,4-15,8            
15,8-16,2            
16,2-16,6            

 

8. Распределение 100 фабрик, Х – число изделий, изготавливаемых рабочим за смену (шт.), Y – размер заработной платы (тыс. руб.), тыс. руб.

 

Y X
55-115 115-175 175-235 235-295 295-355 355-415
0-2            
2-4            
4-6            
6-8            
8-10            

 

9. Распределение 50 однотипных предприятий, Х – себестои-мость выпуска единицы продукции (тыс. руб.), Y – основные фонды (млн руб.), тыс. руб.

 

Y X
1,25 1,5 1,75 2,0 2,25
80-130          
130-280          
180-230          
230-280          
280-330          

 

10. Распределение 200 драгоценных изделий, Х – стоимость изделия (тыс. руб.), Y – количество примесей (%), тыс. руб.

 

Y X
3-9 9-15 15-21 21-27 27-33 Более 33
20-30            
30-40            
40-50            
50-60            
60-70            
70-80            
80-90            

 

11. Распределение 140 предприятий, Х – производственные затраты (млн руб.), Y – степень компьютеризации производства (%), млн руб.

 

Y X
2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0
10-20            
20-30            
30-40            
40-50            
50-60            
60-70            

 

12. Распределение 100 модернизированных приборов, Х – степень модернизации (%), Y – количество сбоев за месяц работы (шт), %.

 

Y X
2,5-4 4-5,5 5,5-7 7-8,5 8,5-10 10,5-11 11,5-13
2-3              
3-4              
4-5              
5-6              
6-7              
7-8              
8-9              

 

13. Распределение 70 предприятий, Х – объем выпуска про-дукции (тыс. шт.), Y – себестоимость единицы изделия (тыс. руб.), тыс. руб.

 

Y X
2,2-2,4 2,4-2,6 2,6-2,8 2,8-3,0 3,0-3,2 3,2-3,4
0,5-1,5            
1,5-2,5            
2,5-3,5            
3,5-4,5            
4,5-5,5            
5,5-6,5            

14. Распределение 100 работников компании, Х – показатели работы (баллы), Y – результаты тестирования (баллы), баллов.

 

Y X
5-6 6-7 7-8 8-9 9-10
9-11          
11-13          
13-15          
15-17          
17-19          
19-21          

 

15. Распределение 50 компаний, занимающихся грузовыми перевозками, Х – среднемесячный доход (млн руб.), Y – количество машин (ед.), машин.

 

Y X
70-75 75-80 80-85 85-90 90-95
20-30          
30-40          
40-50          
50-60          
60-70          

 

16. Распределение 60 образцов сырья по процентному содержанию минерала Х (%) и процентному содержанию минерала Y (%), %.

 

Y X
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20
20-30          
30-40          
40-50          
50-60          
60-70          

 

17. Распределение50 компаний, Х – ежемесячные расходы компании на рекламу (тыс. руб.), Y – объем выручки от продаж (млн руб.), тыс. руб.

Y X
2,0-2,2 2,2-2,4 2,4-2,6 2,6-2,8 2,8-3,0
28-32          
32-36          
36-40          
40-44          
44-48          
48-52          

 

18. Распределение120 служащих, Х – потери рабочего времени (%), Y – сумма начислений на заработную плату, вызванная ростом производительности труда (у.е.), у.е.

 

Y X
3-5 5-7 7-9 9-11 11-13
20-30          
30-40          
40-50          
50-60          
60-70          
70-80          

 

19. Распределение 50 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
200-210                
210-220                
220-230                
230-240                
240-250                
250-260                
260-270                
270-280                
280-290                

 

20. Распределение 55 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

Y X
30-50 50-70 70-90 90-110 110-130 130-150
50-70            
70-90            
90-110            
110-130            
130-150            
150-170            

 

21. Распределение 100 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
13,5 18,5 23,5 28,5 33,5 38,5 43,5 48,5
100-110                
110-120                
120-130                
130-140                
140-150                
150-160                
160-170                
170-180                
180-190                

 

22. Распределение 100 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
40-60 60-80 80-100 100-120 120- 140 140 - 160
60-80            
80-100            
100-120            
120-140            
140-160            
160-180            

 

23. Распределение 60 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
12,6 17,6 22,6 27,6 32,6 37,6 42,6 47,6 52,6
202-212                  
212-222                  
222-232                  
232-242                  
242-252                  
252-262                  
262-272                  
272-282                  
282-292                  
292-302                  

 

24. Распределение 54 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5
300-310                  
310-320                  
320-330                  
330-340                  
340-350                  
350-360                  
360-370                  
370-380                  
380-390                  
390-400                  

 

25. Распределение 65 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
32-52 52-72 72-92 92-112 112-132 132-152 152-172
48-68              
68-88              
88-108              
108-128              
128-148              
148-168              
168-188              
188-208              

 

26. Распределение 60 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
130-150 150-170 170-190 190-210 210-230 230-250 250-270
150-170              
170-190              
190-210              
210-230              
230-250              
250-270              
270-290              
290-310              

 

27. Распределение 55 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5
250-260                  
260-270                  
270-280                  
280-290                  
290-300                  
300-310                  
310-320                  
320-330                  
330-340                  
340-350                  

 

28. Распределение 65 предприятий, Х – основные фонды
(тыс. руб.), Y – объем производства (ед.), тыс. руб.

 

Y X
60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200
100-120              
120-140              
140-160              
160-180              
180-200              
200-220              
220-240              
240-260              

29. Распределение80 служащих, Х – потери рабочего времени (%), Y – сумма начислений на заработную плату, вызванная ростом производительности труда (у.е.), у.е.

 

Y X
2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14
30-40            
40-50            
50-60            
60-70            
70-80            

 

30. Распределение 100 фабрик, Х – число изделий, изготавливаемых рабочим за смену (шт), Y – размер заработной платы (тыс. руб.), тыс. руб.

 

Y X
54-114 114-174 174-234 234-294 294-354 354-414
1-3            
3-5            
5-7            
7-9            
9-11            

 

9.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 9

 

1. Как определяется зависимость между признаками: а) функциональная; б) вероятностная; в) корреляционная?

2. В чем заключается задача: а) корреляционного анализа; б) регрессионного анализа?

3. Что называется диаграммой рассеяния или корреляционным полем?

4. В чем состоит разница в понятиях «теоретический коэффициент корреляции» и «выборочный коэффициент корреляции»?

5. Как определяется выборочный коэффициент корреляции?

6. Сформулируйте свойства выборочного коэффициента корреляции.

7. Какой вид имеет уравнение регрессии переменной Y на Х в случае линейной регрессионной модели?

8. Как оценивается теоретическая прямая регрессии переменной Y на Х?

9. Как определяется точечный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при заданном значении независимой переменной Х?

10. Что можно сказать о характере зависимости между случайными величинами Х и Y при: а) r = 0; б) r = 1; в) r = -1?

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...