 |
Дискретные случайные величины
|
|
|
|
Теоретические сведения и примеры решения задач
Ряд распределения дискретной случайной величины – перечень возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей:
| Х | x 1 | x 2 | … | xn |
| P | p 1 | p 2 | … | pn |
где Р(Х = хi) = рi.
Функция распределения случайной величины: 
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины: 
.
Дисперсия дискретной случайной величины: 
.
Среднее квадратическое отклонение: 
.
Задача. Игральная кость подбрасывается до первого появления шестерки. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных подбрасываний при условии, что их будет не больше 4. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.
Решение. Указанная случайная величина может принимать значения 
, 
, 
, 
. Событие 
(
) означает, что при первых 
подбрасываниях шестерка не выпадет, а при 
м подбрасывании она выпадет. Вероятность такого исхода при равна: 
(
– вероятность выпадения шестерки при одном подбрасывании, а 
– вероятность невыпадения). Событие 
означает, что шестерка не выпала при трех первых подбрасываниях, при этом совершенно неважно, что произойдет при четвертом подбрасывании (шестерка может появиться или не появиться), так как по условию максимальное число опытов равно 4. Вероятность этого исхода равна 
.
Ряд распределения данной случайной величины имеет вид:
| Х | ||||
| P |
| 
| 
| 
|
Найдем математическое ожидание данной случайной величины: 
Найдем дисперсию данной случайной величины:
Варианты задачи № 5
Для рассматриваемой в задаче случайной величины Х необхо-димо:
а) составить ряд распределения;
б) построить многоугольник распределения;
|
|
|
в) найти функцию распределения F (x) и построить ее график;
в) вычислить математическое ожидание и дисперсию.
1. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6. Случайная величина Х − число дней нормального распределения электроэнергии в течение ближайших четырех дней.
2. Вероятность того, что продукт технологического процесса не соответствует установленной норме, составляет 0,06. Технический контроль отбирает из каждой партии пять изделий и проводит проверку каждого из них. Если обнаружится изделие, не соответствующее норме, дальнейшие пробы прерываются и вся партия задерживается. Случайная величина Х − количество изделий, прошедших контроль.
3. У охотника четыре патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в цель равна 0,7. Случайная величина Х − число выстрелов.
4. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятность искажения первого сообщения равна 0,2, второго – 0,1 Случайная величина Х − число правильно переданных сообщений.
5. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Случайная величина Х − число кустов земляники, зараженных вирусом, из числа четырех посаженных кустов.
6. Из коробки, содержащей пять стандартных и три нестандартных болта, извлекаются болты по одному до появления стандартного, при этом извлеченный болт в коробку не возвращается. Случайная величина Х − число нестандартных болтов, извлеченных до появления стандартного.
7. Длительной проверкой установлено, что из каждых 10 приборов восемь – точные. Случайная величина Х − число точных приборов из взятых наудачу пяти приборов.
8. В магазин поступила обувь с двух фабрик в отношении 1:2. Куплено четыре пары обуви. Случайная величина Х − число купленных пар обуви, сделанной фабрикой №1.
|
|
|
9. Торговая база получила 1000 электролампочек. Вероятность повреждения электролампочки в пути 0,001. Случайная величина Х − число поврежденных электролампочек (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).
10. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9; для второго – 0,8; для третьего – 0,75, а для четвертого – 0,7. Случайная величина Х − число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
11. В некотором цехе брак составляет 5 % всех изделий. Случайная величина Х − число бракованных изделий в партии из шести взятых наудачу изделий.
12. Вероятность того, что в некотором автохозяйстве одна автомашина потерпит аварию в течение месяца, принимается равной 0,01. В автохозяйстве 100 автомашин. Случайная величина Х − количество
автомашин, которые могут потерпеть аварию в течение месяца (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).
13. Из 150 изделий, среди которых 50 изделий первого сорта, отбирают шесть изделий. Случайная величина Х − число изделий первого сорта, попавших в выборку.
14. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,02. Производится 100 выстрелов. Найти вероятность двух попаданий. Случайная величина Х − число попаданий при 100 выстрелах (записать первые пять членов ряда распределения случайной величины).
15. Вероятность рождения мальчика 0,515. В семье трое детей. Случайная величина Х − число мальчиков среди детей в семье.
16. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 
. Случайная величина Х − число удачных опытов среди семи проведенных.
17. Автомобиль встретит четыре светофора на пути, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Случайная величина Х − число светофоров, пропустивших его до первой остановки.
18. Имеется два ящика. В первом находится 12 исправных и три неисправных элемента, во втором – 15 исправных и пять неисправных элементов. Из первого ящика наугад вынимается один, а из второго − два элемента. Случайная величина Х −число исправных среди вынутых элементов.
|
|
|
19. Охотник, имея три пули, стреляет до первого попадания в цель. При каждом выстреле вероятность попадания соответственно равна 0,67; 0,8; 0,9. Случайная величина Х − число выпущенных пуль.
20. В цехе семь мужчин и три женщины. По табельным данным наугад отобрана делегация из трех человек. Случайная величина Х − число мужчин в этой делегации.
21. В партии из 10 деталей шесть первосортных. Наугад извлекают одну за другой две детали. Случайная величина Х − число первосортных деталей среди отобранных.
22. В 20-квартирном доме пять квартир требуют ремонта. Наудачу выбраны три квартиры. Случайная величина Х −число квартир, требующих ремонта (среди отобранных).
23. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8, при втором – 0,9, при третьем – 0,95. Случайная величина Х − число попаданий при трех выстрелах.
24. На складе находятся краны, вероятность отличного качества которых равна 0,7. Наудачу куплены четыре крана. Случайная величина Х − число кранов отличного качества среди купленных.
25. В конверте 18 марок, среди которых семь чистых, а остальные проштампованы. Наугад достают три марки. Случайная величина Х − число чистых марок среди отобранных.
26. Два сигнализатора срабатывают в аварийной ситуации с вероятностью 0,9 и 0,95. Случайная величина Х − число сработавших сигнализаторов.
27. Баскетболист попадает мячом в корзину, стоя на определенном месте площадки, с вероятностью 0,6. Ему дана возможность сделать три броска. Случайная величина Х − число попаданий мячом в корзину.
28. При первичной поломке прибора, которая возможна с вероятностью 0,2, прибор ремонтируется. При вторичной поломке, происходящей с вероятностью 0,5, прибор снимается с испытаний. Случайная величина Х − число приборов, снятых с испытаний, из трех проверяемых.
29. Имеется пять ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина Х − число проб при открывании замка (испробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует).
|
|
|
30. Стеновая панель подвергается при испытаниях последовательному воздействию трех нагрузок. Вероятности разрушения панели при этих нагрузках равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. При разрушениях деталь следующей нагрузке не подвергается. Случайная величина Х − число воздействовавших на деталь нагрузок.
5.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 5
1. Что называют случайной величиной?
2. Определите разницу в понятиях «переменная» и «случайная величина».
3. Что называют законом распределения случайной величины?
4. Какую случайную величину называют дискретной?
5. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?
6. Что называют многоугольником распределения?
7. Как определяется функция распределения случайной величины?
8. Какими свойствами обладает функция распределения случайной величины?
9. Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?
10. Как определяется и что характеризует математическое ожидание дискретной случайной величины?
11. Как выглядит формула, определяющая дисперсию дискретной случайной величины?
12. Что такое среднее квадратическое отклонение случайной величины?
13. Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?
14. Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением?
15. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?
16. Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением?
17. Какими параметрами характеризуется гипергеометрическое распределение?
18. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по гипергеометрическому закону?
19. Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?
20. Какой смысл имеет случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р?
21. Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?
22. Почему закон распределения Пуассона также называют законом «редких событий»?
23. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения?
24. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения?
25. Как выглядят формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона?
|
|
|
