8.Однофакторный дисперсионный анализ.

8. Однофакторный дисперсионный анализ.

Основной задачей дисперсионного анализа является выявление фактора влияния одного или нескольких факторов на показатель У. Пусть изучается влияние фатора х на показатель у. Для этого фиксируются рез-ты измерений показателя у в различных группах. Пусть для каждого фактора х выделяют m уровней и для каждого уровня проведено n измер. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что показатель у не зависит от фактора х. В этом случае необходимо сравнить разброс значений результатов измерений у относительно средних значений в каждой группе, а также относительно общего среднего. Если эти отклонения не существенны, то нулевая гипотеза о равенстве мат ожиданий принимается: . Это означает, что результаты измерений не отличаются друг от друга и поэтому их можно объединить в одну однородную группу. Это означает, что фактор х не влияет на показатель у. Результаты измерения показателя у можно занести в след таблицу:

№ измерения	Группы (уровни)
			…	j	…	m
	Y11	Y12	…	Y1j	…	Y1m
	Y21	Y22	…	Y2j	…	Y2m
…	…	…	…	…	…	…
i	Yi1	Yi2	…	yij	…	yim
….	…	…	…	…	…	…
n	Yn1	Yn2	…	ynj	…	ynm
Ср. в гр.
общ. Ср.

Среднее значение в каждой группе определяется по формуле: .

общее среднее:   Н0=у1 среднее=у2 среднее=…. ymсреднее.

Разброс средних значений по группе результатов измерений и общего среднего можно оценить с помощью следующей формулы: Q=Q1+Q2, где Q- сумма квадратов отклонений результатов измерений от общего среднего, т. е. Q=

Q1=  или Q1=n*

Q2=

На самом деле, Q=Q1+Q2+Q3, но Q3=0. поэтому Q=Q1+Q2 где Q1 называется межгрупповой разброс средних значений. Q2 харктеризует разброс средних результатов значений У относительно среднего значения и называется внутригрупповым рассеиванием.

Число степеней свободы: Q1: Q2:

Для оценки дисперсии обозначим:

 -Межгрупповая дисперсия:

-Внутригрупповая дисперсия:

Для проверки нулевой гипотезы Но можно использовать отношение 2-х дисперсий: (эта величина подчиняется з-ну распределения Фишера)

F параметр- Критерий Фишера. Обозначим все возможные значения F через f. Закон распределения Фишера: Вся область всевозможных параметров f делится на 2-е части: РИСУНОК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА!!!!

1) Область допустимых значений, куда значения параметра f попадают с большей вероятностью > 90%

2) Область критических значений: p+q=1 p-попадающие в 90% q-не попадающие.

Вероятность попадания расчётного значения в критическую область назыв. уравнением значимости критерия фишера. Если Fрасч< Fкрит, то расчётное значение попадает в первую область допустимых значений, т. е. принимается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий, и считается, что фактор х не влияет на у. Если наоборот, то для уровня значимости q расчетные значения критерия Фишера F попадают во II область и поэтому Н0 отвергается и принимается решение о том, что фактор х влияет на показатель у.

9. Двухфакторный дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ позволяет определить факторное влияние одного или нескольких факторов (переменных) на результативный признак. Рассмотрим случай, когда на пок-ль У влияют(или нет) 2 фактора. Предположим, что для каждого фактора производится только одно измерение. Тогда рез-ты измерений можно занести в след таблицу:

Введем след. обозначения: i-уровень фактора 1 j-уровень фактора 2 = -среднее по i-ой строке = -среднее по j-му столбцу -общее среднее

Особенностью многофакторного анализа явл то, что взаимное влияние факторов может искажать рез-т показателей системы У. Общее отклонение любого рез-та измерения У от общего среднего склад-ся их 3-ех слагаемых Q=Q₁+Q₂+Q₃, где Q₁ хар-ет разброс рез-тов измерений(среднее по строке относительно общего среднего) Q₁=k* . Q₂-квадратное отклонение средних по столбцу от общего среднего. Q₂=m* . Q₃-остаточный разброс результатов измерения. ². Q= ². Для того, чтобы перейти к дисперсии нужно ввести число степеней свободы: для Q₁: =

(m-1)(k-1). Тогда дисперсии можно оценивать по след. формулам: . .

. -дисперсия, хар-щая изменчивость средних значений У при изменении 1-ого фактора. -хар-щая изменчивость средних значений У при изменении 2-ого фактора. -определяет разброс величин У при исключении влияния 1-ого и 2-ого факторов.

При двухфакторном дисперс. анализе требуется определить является ли существенным влияние 1-ого и 2-ого факторов на соответств. мат. ожидания У на фоне остаточного разброса, характеризуемого дисперсией . Для этого проверяются 2 гепотезы:

H₀₁ заключается в том, что проверяется постоянство мат. ожиданий по строке при изменении 1-ого фактора. H₀₂ о постоянстве мат ожиданий при изменении 2-ого фактора. Эти гепотезы проверяются с помощью критерия Фишера. F_1ФАКТ= , F_2ФАКТ= . По табл. Распределения Фишера в зависимости от ур-ния значимости Q и кол-ва строк и столбцов опред-ся критические знач-я F. (f_1q, f_2q).

Если F_1ФАКТ  f_1q, то принимается H₀₁ и это означает, что 1-ый фактор не влияет на пок-ль У.

Если F_1ФАКТ  f_1q, то отклоняется H₀₁ и это означает, что 1-ый фактор влияет на пок-ль У.

Если F_2ФАКТ  f_2q, то принимается H₀₂ и это означает, что 2-ой фактор не влияет на пок-ль У.

Если F_2ФАКТ  f_2q, то отклоняется H₀₁ и это означает, что 2-ой фактор влияет на пок-ль У.

Для определения степени линейной связи рассчитывается коэфф-т корреляции.

 , -1 1.

Для определения нелинейной связи определяется индекс корреляции

,    0 1

Коэффициент детерминации: R²= ²-для лин связи. R²= ²-для нелин связи.

Показывает на сколько % изменения показателя у от своего среднего значения зависит от изменения фактора х от своего среднего значения. Чем ближе значение R² к 1, тем точнее модель.

Из всех полученных уровнений регрессии, лучшей является та, у которой коэф-т детерминации больший.

Если исследуется несколько факторов (больше2) то в этом случае рассчитывается множественный коэфф-т корреляции. R_{Y, X1, X2.. XN}-множественный коэфф-т корреляции.

При анализе влияния нескольких факторов друг на друга определяется корреляционная матрица, которая состоит из всех возможных парных линейных коэфф-тов корреляции.

Корреляционная матрица:

 

10. Доверительные интервалы. Уравнения вида y=f(x), где х-незав перем; у-зав. переменная (результативный признак) наз-ся уравнениями парной регрессии. Парная регрессия: - линейная, когда y^=a+b*x, с числовыми к-тами а и b –параметры уравнения регрессии, b=tg α. (тангенс угла наклонной оси х); а-показывает значения показателя у при нулевом значении х. - нелинейная, y=a+bx+cx^2(парабола) y=a+b/x (гипербола); y(с домиком)=a+bx+cx^2+…+dx^n-полином. кривая. Целью анализа явл опред-ие(оценка)параметров регрессии. Чаще всего исп-ся (мнк). Суть МНК в том, что составляется функция, кот представляет собой сумму квадратов отклонений фактических значений от теоретических. Эта функция должна быть минимальна. F(a, b)= b= , a=       Прогноз бывает 2-ух видов: 1)точечный , где - 2)доверительный интервал: . Оценить стат. значимость можно у каждого параметра уравнения в отдельности. Для этого рассчит. t-критерии для каждого пар-ра. Для определения доверительных интервалов и получения пар-ра упр, используются след формулы

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: