4.2. Экстремумы функционала
Функционал I [y (x)], определенный на некотором пространстве функций (кривых) достигает на кривой y = y0(x) экстремума, если существует Теорема. (Необходимое условие локального экстремума). Если функционал I [y (x)], имеющий вариацию, достигает минимума или максимума на кривой y = y0(x), где y0(x) – внутренняя точка области определения функционала, то при y(х)= y0(x) вариация функционала равна нулю: d I [y0(x)] = 0. (3) Функции, удовлетворяющие условию (3), называются экстремалями функционала. Вариационная задача: среди функций (кривых) y (x), принадлежащих некоторому множеству М, требуется найти кривую y = y*(x), на которой функционал I [y (x)], определенный на множестве М, достигает экстремума, т. е. Решение этой задачи заключается в поиске экстремалей, т. е. функций, «подозрительных на экстремум», и в последующей проверке выполнения достаточных условий существования экстремума. На практике, как правило, экстремалей немного, и установить наличие (или отсутствие) на них экстремума функционала удается, исходя из смысла задачи. Следует отметить, что вариационная задача не всегда имеет точное решение, а если решение существует, то оно не всегда единственно. Рассмотрим пространство M функций y (x), дифференцируемых на отрезке [a; b] и удовлетворяющих граничным условиям: y(a) = A, y(b) = B, (4)
то есть все кривые проходят через две закрепленные граничные точки. Пусть на этом пространстве M определен функционал I [y (x)] = где подынтегральная функция Требуется найти экстремали функционала I [y (x)]. Можно доказать, что, если для функционала (5) выполнено необходимое условие (3), то функция
Так как
При Пример. Найти экстремали функционала Решение. Запишем уравнение Эйлера (7) для данного функционала. Для подынтегральной функции
Тогда уравнение Эйлера: Его характеристическое уравнение k2 – k = 0 имеет корни k1 = 0, k2 = 1. Напомним, что общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения имеет вид:
В данном случае k1 = 0, k2 = 1, Определим произвольные постоянные С1, С2 из граничных условий Отсюда получаем С1 = –2, С2 = 2, следовательно, экстремаль функционала Ответ.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|