 |
Решение примерного варианта контрольной работы
|
|
|
|
Задача 1. Дана формула алгебры логики: 
.
Требуется:
1) при помощи равносильных преобразований упростить формулу;
2) построить релейно-контактные схемы для исходной и упрощенной формул.
Решение.
1). Упростим заданную формулу, используя принятый порядок выполнения операций 
. Сначала выразим импликации через дизъюнкции согласно формуле 12 основных равносильностей:
x ® y º 
Ú y 
x ® Ù y º Ú ( Ù y), y ® z º 
Ú z,
затем используем формулы 16, 11 и 21:
x Ù y º y Ù x Ù y º y Ù , Ú z º z Ú ,
x Ú (y Ù x) º x Ú (y Ù ) º ,
x Ú (y Ù z) º (x Ú y) Ù (x Ú z) (z Ú ) Ù (z Ú ) º z Ú ( Ù ),
откуда получаем: º
.
2). Построим РКС для исходной формулы А, используя таблицу простейших РКС и соответствующих им формул логики:
– конъюнкции Ù y соответствует последовательное соединение элементов и y;
– импликации x ® Ù y соответствует параллельное соединение элементов и ( Ù y);
дизъюнкции z Ú (x ® Ù y) соответствует параллельное соединение элементов z и (x ® Ù y);
– импликации y ® z соответствует параллельное соединение элементов и z;
– конъюнкции 
соответствует последовательное соединение элементов (z Ú (x ® Ù y)) и (y ® z).
Построим РКС для упрощенной формулы 
: конъюнкции Ù соответствует последовательное соединение элементов и , а дизъюнкции z Ú ( Ù ) соответствует параллельное соединение элементов z и ( Ù ).
Полученные в результате РКС изобразим на рис. 5.
Ответы:
1) результат упрощения формулы A: 
;
2) РКС, соответствующие исходной формуле А и упрощенной формуле А0 приведены на рис. 5.
Задача 2. Дана булева функция f (x, y) = (x Ú y) ® (x Ù 
Ú 
® ). Составить таблицу значений функции и указать значение f (0, 1).
|
|
|
Решение. Известно, что порядок выполнения операций определен следующим образом: 
. Используя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации составим вспомогательную таблицу значений каждой из операций функции f (x, y).
| x | y | x Ú y |
|
| x Ù
| x Ù Ú
| x Ù Ú ®
| (x Ú y)®
(x Ù Ú ® )
|
Составим таблицу значений функции f (x, y):
| x | y | f (x, y) = (x Ú y)®(x Ù Ú ® )
|
По таблице значений функции найдем значение f (0, 1), соответствующее значениям аргументов x = 0, y = 1 (третья строка): f (0, 1) = 0.
Ответы: таблица значений функции приведена выше; f (0, 1) = 0.
Задача 3. Составить список дуг ориентированного графа, изображенного на рисунке 6. Сформировать матрицу инцидентности и матрицу смежности этого орграфа.
Решение.
1. Для составления списка дуг орграфа G составим вспомогательную таблицу, каждая строка которой соответствует одной дуге. В строке записываем обозначение дуги и номера вершин, инцидентных этой дуге, причем сначала указываем начальную вершину, затем – конечную, т. к. граф ориентированный.
| Дуга | Вершины |
| x1 | v2, v1 |
| x2 | v2, v3 |
| x3 | v1, v4 |
| x4 | v4, v1 |
| x5 | v2, v4 |
Получаем список дуг орграфа:
X = {(v2, v1), (v2, v3), (v1, v4), (v4, v1), (v2, v4)}.
2. Для построения матрицы инцидентности орграфа G составим таблицу, используя формулы (1). Заполняем таблицу по столбцам, соответствующим дугам орграфа: в j-м столбце ставим i-й строке «–1», если вершина vi является началом дуги хj, ставим «1», если вершина vi является концом дуги хj и ставим «0», если вершина vi и дуга хj неинцидентны.
При заполнении таблицы можно использовать список дуг орграфа.
|
|
|
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | Получили матрицу инцидентности: В(G2) = | |
| v1 | –1 | |||||
| v2 | –1 | –1 | –1 | |||
| v3 | ||||||
| v4 | –1 |
3. Для построения матрицы смежности орграфа G составим таблицу, используя формулы (2). Так как граф G ориентированный, то элемент матрицы aij равен количеству ребер с началом в i-й вершине, а концом в j-й вершине.
| v1 | v2 | v3 | v4 | Получили матрицу смежности A(G) = | |
| v1 | |||||
| v2 | |||||
| v3 | |||||
| v4 |
Ответы: список дуг орграфа X = {(v2, v1), (v2, v3), (v1, v4), (v4, v1), (v2, v4)};
матрица инцидентности и матрица смежности:
В(G) = 
; A(G) = 
.
Задача 4. Дан функционал 
. Найти экстремали функционала, удовлетворяющие граничным условиям y(0) = –1, y(π ) = 0.
Решение. Запишем уравнение Эйлера 
= 0 для данного функционала.
Для подынтегральной функции 
получаем частные производные:
.
Тогда уравнение Эйлера имеет вид: 
или 
– простейшее дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение получаем двукратным интегрированием:
.
Определим произвольные постоянные С1, С2 из граничных условий
Отсюда получаем С1 = 1/π , С2 = –1, следовательно, экстремалью функционала является функция 
.
Ответ. 
.
Задача 5. Дана модель объекта управления, описываемая системой дифференциальных уравнений 
и граничными условиями x1(0) = 0, x2(0) = 3, x1(3) = 2, x2(3) = –1, где t – время (t 
[0; 3]), 
– фазовый вектор (траектория объекта), u(t) – функцияуправления объектом.
Требуется найти оптимальное управление объектом u*(t) и соответствующую ему оптимальную траекторию 
, если задан критерий качества управления: 
Решение.
1. Введем вспомогательный вектор 
, где 
– неизвестные функции, и построим гамильтониан данной задачи:
=
,
где функции 
– это правые части дифференциальных уравнений 
а 
– подынтегральная функция критерия качества управления 
.
По условию задачи 
Отсюда получаем 
= 
.
2. Находим максимум гамильнониана по управлению: 
, 
– критическая точка. Вторая производная 
, следовательно, при 
достигается максимум гамильнониана по управлению.
3. Составим каноническую систему дифференциальных уравнений, подставив в формулу (8) 
и частные производные гамильнониана 
, и решим эту систему. Каноническая система имеет вид:
|
|
|
Общее решение системы находим последовательным интегрированием:
.
Найдем частное решение системы, удовлетворяющее граничным условиям x1(0) = 0, x2(0) = 3, x1(3) = 2, x2(3) = –1.
Из первых двух условий получаем: 
Подставив эти значения в другие два условия 
получаем:
Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получаем 
, затем 
Подставив найденные значения констант, получим оптимальную траекторию и оптимальное управление:
Ответы: оптимальная траектория 
, где 
; оптимальное управление 
|
|
|
