 |
9. Плоскость в пространстве. 10. Общее уравнение плоскости. 11. Взаимное расположение плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
|
|
|
|
9. Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-вектор нормали
M0M{x-x0, y-y0, z-z0}
Для того, чтобы точка MÎ P, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т. е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.
10. Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0; 0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0
11. Взаимное расположение плоскостей.
N1, N2-нормальные векторы плоскости.
P: A1x+B1y+C1z+D1=0
Q: A2x+B2y+C2z+D2=0
P^Q{A1, B1, C1}
Q^N2{A2, B2, C2}
1)Пусть P^Q< => N1^N2
A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности P^Q.
2) Пусть P^Q< => N1^N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.
12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
M0M{x-x0, y-y0, z-z0}
Чтобы точка МÎ прямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S
13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.
l m n
S{x2-x1, y2-y1, z2-z1}
14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.
P: A1x+B1y+C1z+D1=0
Q: A2x+B2y+C2z+D2=0
Общее ур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:
1. Найдем начальную точку:
Z=0 
M0(x0, y0, 0), т. к. Z=0
2. Найдем направляющий вектор S-?
P^N1{A1, B1, C1}
Q^N1{A2, B2, C2}
S=N1*N2
16. Взаимное расположение прямой на плоскости.
P: A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1, B1}
|
|
|
Q: A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2, B2}
а)
то 
б)
pq< => N1||N2, то A1/A2=B1/B2
в)
p||q< => N1^N2, то A1A2+B1B2=0
17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.
M0(x0, y0)
M0M{x-x0, y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.
18. 19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.
y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е прямой с угловым коэффициентом k.
Пусть даны 2 точки M1(x1, y1), M2(x2, y2) и x1¹ x2, y1¹ y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т. к. М2лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:
Теперь вид искомой прямой имеет вид:
или: 
- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2
20, 21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и^.
а) 
S1{l1, m1} S2{l2, m2},
или
p: y=k1x+b1, k1=tgj1
q: y=k2x+b2, k2=tgj2 => tgj=tg(j2-j1)=
=(tgj2-tgj1)/(1+ tgj1tgj2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tgj=0, k1=k2
в)p^q, то 
22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0(x0, y0)
2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0
23. Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-е эллипса
- Каноническое ур-е эллипса
Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1
в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
24. Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. в О(0, 0), то ур-е примет вид
|
|
|
y2=2px-симметрично отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2, 0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х, у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.
25. Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=d
ур. -е 
наз. канонич. ур. -ем эллипса, где 
При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c, 0) и F2(c, 0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0< =e< =1)
Точки A1, A2, B1, B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
|
|
|
