 |
26. Гипербола и ее св-ва. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка. 28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
|
|
|
|
26. Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т. е. А*С< 0
б) Если d> 0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c, o) и F2(-c, 0) - фокусы ее, e> 0, e=c/a - эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d< 0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.
27. Понятие о поверхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0, где A, B, C, D, e, F - действительные числа
Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.
28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
Функция - это зависимость одной величины от другой.
Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).
Определение способа задания:
-аналитически (y=kx+b)
-графический (график)
-таблично
| x | |||
| y |
-алгоритмически (с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+, -, *, /, введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn - степенная
2. y=ax - показательная
3. y=logax - логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]
Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.
|
|
|
29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Предел последовательности:
y=f(Un), где U1, U2,... Un, а Un=n/(n2+1)
Предел: число а называется пределом переменной xn, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n> N разность |xn-a|< e
limxn=a
n®¥
-e< Xn-a< e
a-e< Xn< a+e
б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б. м. в. |x-a|®0, |x-a|< e
Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e> 0, найдется такое как угодно малое на период заданного d> 0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|< d, то |f(x)-A|< e
Основные св-ва:
1. Если величина имеет предел, то только 1.
2. limC=C, где С- постоянная величина
3. Если a-б. м. в., то lima=0
4. предела б. б. в. не существует
5. если limy=a, то y=a+a, где a-б. м. в.
30. Основные теоремы о пределах.
1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б. м. в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б. м. в.
x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.
2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.
limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва
x=a+a
y=b+b, где a и b - б. м. в.
x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то
сумма б. м. в. = d(дельта)
xy=ab+d
xy®ab,
limxy=ab=limx*limy
3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.
limCx=limC*limx=C*limx
4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0
limx/y=limx/limy, т. к. limx=a, limy=b
x=a+a, y=b+b
x/y=(a+a)/(b+b)
31. 1й, 2й замечательный пределы.
1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0
j
lim((Sina)/a)=1
x®0
SDOAC< SсектораOAC< SDOCB
SDOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то
SDOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina
SсектораOAC=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т. к. OA=OC)
SDOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga
1/2*Sina< 1/2*a< 1/2tga //*2
|
|
|
sina< a< tga//: sin
1< a/sina< 1/cosa, => cosa< sina/a< 1,
limCosa< lim((Sina)/a)< lim1, по признаку
a®0 a®0 существования
предела ф-ции
lim((Sina)/a)=1
a®0
2ой: lim(1+1/n)n=e»2. 7183
n®¥
Зная, что 1/n=a - б. м. в., то n=1/a и
x®¥ a®0
lim(1+1/n)1/a=e
a®0
32. Основные приемы нахождения пределов.
1. Подстановка: при х®х0 и х0Î области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х0
limf(x)=f(x0)
x®x0
2. Сокращение: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.
3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).
4. деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х0 f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.
5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1
x®¥
lim(1+1/n)x=e
x®¥
33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.
x=x0+Dx, Dx=x-x0
Dy=f(x0+Dx)-f(x0)
Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б. м. приращению аргумента соответствует б. м. приращению ф-ции).
limDy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то
limf(x)=limf(x0)
x®x0
Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0
Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.
|
|
|
