Элементы проективной геометрии

Элементы проективной геометрии

Перспектива и проективная геометрия

На рисунках 1 и 2 изображено одно и то же геометрическое тело – куб. Однако, нельзя не заметить между этими двумя изображениями существенные различия. В то время, как на первом чертеже параллельные ребра куба изображаются параллельными отрезками, а параллельные грани – равными параллелограммами, на втором чертеже параллельные ребра не изображаются в виде параллельных отрезков, а среди четырехугольников, изображающих грани, вообще не найдется пары равных между собой.

Изображения первого типа учится строить на уроках геометрии и черчения каждый школьник. Изображения второго типа (перспективные) осваивают узкие специалисты – художники и архитекторы. В чем разница? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся понять, как строится плоское изображение пространственного тела.

Возьмем проволочный каркас куба, поместим его в пучок световых лучей. Тень, которую мы увидим на стене, и будет плоским изображением трехмерного объекта. Легко перевести это наглядное представление на язык геометрии.

Рассмотрим произвольную плоскость α и пучок параллельных прямых. Через любую точку М в пространстве проходит единственная прямая из этого пучка. Точка пересечения М' этой прямой и плоскости α называется проекцией точки М на плоскость α.

Множество проекций всех точек данной фигуры назовем ее изображением на плоскости α. На рисунке 1 изображена параллельная проекция фигуры, состоящей из всех ребер куба.

Чтобы получить перспективное изображение, надо рассмотреть не параллельную, а центральную проекцию. Для этого вместо пучка параллельных прямых возьмем пучок прямых, проходящих через одну точку О, не лежащую в плоскости α. На рисунке 2 куб изображен в центральной проекции.

Сравнивая рисунки 3 и 4, видим насколько построение параллельной проекции проще и удобнее, чем центральной. Если при параллельном проецировании параллелограмм остается параллелограммом, то при центральном проецировании параллелограмм может перейти в произвольный четырехугольник. И это еще не самое неприятное.

Если на рисунке 4 центральная проекция параллелограмма выглядит как «нормальный» четырехугольник, то на рисунке 5 эта проекция состоит из двух бесконечных областей. Проецирование разрезает исходный параллелограмм на две части.

Казалось бы, зачем вообще строить такую кривую и неудобную центральную проекцию, когда можно обойтись гораздо более простой параллельной. Однако, дело в том, что мы видим окружающий нас трехмерный мир как раз в центральной проекции. Вспомните хотя бы железнодорожные рельсы, сходящиеся к горизонту. Рассмотрите любую фотографию высотного здания, сделанную с достаточно близкого расстояния. Контуры ощутимо сжимаются по направлению к вершине. Дальние объекты кажутся нам мелкими, ближние – крупными. Изучение центральной проекции начали художники, поставившие задачу изобразить на плоском холсте трехмерный мир таким, каким мы его видим.

В XIV – XV вв. мастера Возрождения научились строить перспективные изображения. Перспектива – это центральная проекция пространства на плоскость холста. Центр проекции – глаз художника. Но до тех пор, как за дело взялись математики, перспектива оставалась лишь набором эмпирических правил, сборником внутрицеховых ремесленных рецептов.

Только в середине XIX века окончательно сложилась такая область математики, как проективная геометрия. В основе ее лежит центральное проецирование, но вместо решения задач на построение математики занялись исследованиями того, какие свойства фигур остаются неизменными при центральном проецировании. Это привело во-первых, к открытию многих замечательных, неизвестных ранее теорем, а во-вторых к глубоким серьезным обобщениям, позволившим А. Кэли сказать в конце XIX века, что «проективная геометрия ­– это вся геометрия». Задача статьи – используя известные теоремы «школьной» евклидовой геометрии, познакомить читателей с основными понятиями теоремами и конструкциями проективной геометрии.