Теорема Коши о существовании и единственности решения.
Теорема Коши о существовании и единственности решения. Пусть функция 1) 2) имеет в Тогда решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию
называется задачей Коши.
В нашем примере
определена и непрерывна на всей плоскости Вычислим частную производную как функцию одной переменной Здесь сначала постоянный множитель Таким образом, частная производная Анализ, проведенный выше, является основной частью решения задачи Коши, так как, используя программу типа Mathematiсa или зайдя на сайт www. wolframalpha. com (в режиме online и даже в пошаговой форме), Вы можете моментально получить решение. Найдем общее решение дифференциального уравнения (3), не используя эти средства. Это уравнение с разделяющимися переменными (см. [2], [4] или [5]), так как оно имеет вид где правая часть есть произведение функции
В нашем уравнении (3)
Эти функции определены и непрерывны при всех Заменим и разделим переменные, умножая обе части уравнения на выражение: В результате получим уравнение
которое называется уравнением с разделенными переменными. Считая Интегрируя левую часть равенства (4) по
Интеграл Интеграл Учитывая, что получаем Подставляя полученные выражения в равенство (5), найдем общий интеграл уравнения (3)
В данном случае уравнение (6) можно разрешить относительно переменной
Общее решение (7) дифференциального уравнения (3) – это однопараметрическое семейство решений, существование и единственность которых гарантирует теорема существования и единственности. Оно включает в себя все решения любой задачи Коши. Для нахождения искомого частного решения подставим в общее решение начальные значения При таком выборе Ответ. Решением задачи Коши является функция
Решение задачи № 2
Найдем решение уравнения
Это линейное уравнение, т. е. уравнение вида в котором предполагается, что функции
непрерывны в некотором интервале. Найдем его. Функция Так как функция
Мы выбираем интервал
Точка Следовательно, дифференциальное уравнение (1) будем рассматривать в полосе Существуют различные способы нахождения общего решения линейного уравнения. Мы рассмотрим только один из них – метод Бернулли. Согласно этому методу будем искать решение Подставим функцию
Выбирая ненулевую функцию Уравнения (3) и (4) являются уравнениями с разделяющимися переменными в полосе Разделим переменные в уравнении (3)
Интегрируя его, получаем Положим постоянную Вычисляя интегралы
имеем Найдем общее решение уравнения (4). Подставляя найденную функцию
Разделяя переменные, найдем Отсюда Общим решением уравнения (1) в полосе определенная на интервале Используя начальное условие (2), найдем частное решение, интегральная кривая которого проходит через точку с координатами Для этого подставим
при котором из общего решения выделяется искомое частное. Ответ. Решением задачи Коши (1), (2) является функция
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|