 |
Нахождение точек максимума и минимума функций
|
|
|
|
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции 
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке 
производная 
меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции 
Ответ: 17.
2. Найдите точку минимума функции 
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке 
производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: 1.
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции 
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция 
монотонно возрастает, точка максимума функции 
. будет при том же 
, что и точка максимума функции 
А ее найти легко.
при 
. В точке производная 
меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции 
.
Заметим, что точку максимума функции 
можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при 
Ответ: - 4.
4. Найдите абсциссу точки максимума функции 
Напомним, что абсцисса — это координата по 
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция 
монотонно возрастает, точка максимума функции 
является и точкой максимума функции 
Это вершина квадратичной параболы 
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
|
|
|
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке 
производная равна нулю и меняет знак с " +" на " -". Значит, x = - 2 — точка максимума функции 
. Поскольку при 
функция убывает, 
В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
Ответ: 12
6. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
при 
Найдем знаки производной.
Точка 
— точка минимума функции 
. Точка 
не лежит на отрезке 
Поэтому
и 
Значит, наименьшее значение функции на отрезке 
достигается при 
Найдем это значение.
Ответ: -11.
7. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. 
при 
Если 
то 
Если 
, то 
Значит, 
— точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
Ответ: 4
8. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную функции 
Приравняем производную к нулю: 
. Поскольку 
если 
Найдем знаки производной на отрезке
При 
знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при 
и 
Мы нашли, что 
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при 
не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ: 4
|
|
|
9. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [0; 2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции 
если 
Тогда 
При 
знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции 
10. Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, 
. На этом отрезке условие 
выполняется только для 
Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке 
производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции 
на отрезке достигается при 
Ответ: 12.
11. Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. 
— нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку 
, получим, что 
для всех 
, и функция 
монотонно возрастает при 
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при 
Ответ: 6
Задание 13
|
|
|
