 |
1.3. Операции двоичного сложения и вычитания с использованием дополнительного и обратного кодов
|
|
|
|
1. 3. Операции двоичного сложения и вычитания с использованием дополнительного и обратного кодов
Рассмотрим в общем виде правила выполнения операций сложения и вычитания для чисел с фиксированной запятой на основе дополнительного и обратного кодов, а также методы оценки результатов.
1. 3. 1 Вычитание на основе дополнительного кода
Пусть надо найти (действия выполняются над модулями чисел):
S=A+B; |A|< 1; |B|< 1; A> 0; B< 0. Тогда S= A - |B|;
Будем вычислять сумму модулей в виде
S* = [A]п + [-|В|]д = A+10 -|B|=10+(A - |B|) (1. 5)
Рассмотрим два возможных случая:
1) А - |B| ≥ 0, тогда S* ≥ 0; S*≥ 10
Поскольку разрядная сетка рассчитана на размещение чисел по модулю меньших 1, то слагаемое “10” образует перенос из старшего разряда P0=1, который выходит за пределы разрядной сетки. При этом в разрядной сетке окажется сумма в прямом коде, т. е.
[S]п = S* - 10 = A - |B|
Следовательно, наличие переноса из старшего разряда сумматора является признаком того, что сумма положительна и получилась в прямом коде.
2) Если в выражении (2. 1) принять (А - |B|) < 0, то S* < 10, S< 0 и по определению (1. 3) оказывается, что S* = [A- |B|]д. Следовательно, отсутствие переноса из старшего разряда сумматора является признаком того, что сумма получилась в дополнительном коде.
Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров.
Пример 1:
S = A+B; A=. 11011; B= -. 00101 [-|В|]д =. 11011.
S* = |A| + [-|В|]д =. 11011
. 11011
S*=1. 10110 S*> 1.
В этом примере за пределы разрядной сетки вышла единица переноса Р0 = 1, следовательно, результат получился положительный и в прямом коде S = [S]п = 0. 10110.
|
|
|
Пример 2:
S=A+B; A= -. 11001 [A]д = 1. 00111 B=. 00101
S*=[|A| ]д + [|B| ]п . 00111
+. 00101
S* = . 01100
В этом примере перенос из старшего разряда отсутствует, т. е. Р0 = 0, следовательно, результат отрицательный и получился в дополнительном коде, S* = [S]д.
1. 3. 2 Вычитание на основе обратного кода Остановимся на особенностях выполнения операций сложения и вычитания на основе обратного кода.
Будем вычислять ( действия выполняются над модулями чисел):
S = A+B; |A| < 1; |B| < 1; A > 0; B < 0.
Найдем решение в виде:
S* = A + [-|B|]o = A + 10 - |B| - 10-n = 10+(A - |B|) - 10-n (1. 6)
Оценим возможные варианты решения:
1) Если А - |B| ≥ 0, то S* ≥ 10
Анализ выражения (1. 6) показывает, что так как “10” образуется за счет переноса из старшего разряда Р0 = 1, то в разрядной сетке остается выражение (А - |B|) - 10-n.
Следовательно, для получения правильного результата, если
Р0 = 1, необходимо добавить к полученной сумме единицу младшего разряда:
|S| = (A - |B|) - 10-n +10-n = A - |B|
Эта процедура носит название “циклический перенос”, так как при возникновении переноса из старшего разряда Р0 = 1 именно этот сигнал должен поступать на вход переноса младшего разряда сумматора для коррекции результата. При этом результат получается положительным и в прямом коде.
2) Если А - |B| < 0, то выражение (1. 6) представляет собой по определению обратный код искомой разности. При этом S* < 10, переноса из старшего разряда не возникает Р0 = 0, результат отрицательный S< 0, S* = [|S|]o
Пример 1 S=A+B; A=. 11011 B= -. 00101
S*= |A| + [- |B| ]о =. 11011
+ . 11010
1. 10101 так как Р0 = 1, то выполняется
+ . 00001 циклический перенос |S| =. 10110 ЗНS = ЗНА [S]п = 0. 10100
|
|
|
Пример 2
S=A - B; A=. 00101. B=. 11001
S*= |A| + [- |B| ]о = . 00101
+. 00110
S*=. 01011
Поскольку переноса из старшего разряда нет (Р0 = 0), то результат отрицательный и получился в обратном коде. Следовательно,
S*=[|S|]о; [S]о = 1. 01011 [S]п = 1. 10100
Рассмотрим еще один пример, в котором представляется вариант с переполнением сетки
S=A + B; A=. 11011 B=. 01001
S*= |A| + |B| =. 11011
+ . 01001
S*=1. 00100
На основе приведенных выше способов оценки результат должен получиться отрицательным, так как Р0 = 0, да и в знаковом разряде также стоит “1”. Однако сумма положительна, но |S*|> 1 т. е. произошло переполнение разрядной сетки. Следовательно, для обнаружения такой ситуации должны быть использованы дополнительные логические условия.
1. 4. Модифицированные коды
Одним из наиболее распространенных и достаточно простых способов обнаружения переполнения является использование модифицированных кодов. Они отличаются тем, что для представления знака используются два разряда. При этом формат числа имеет следующий вид:
| № разряда | 1 | .......... | n | |||
| Значение | ЗН[0] | ЗН[1] | 2-1 | 2-2 | .......... | 2-(n-1) |
Пусть некоторое число обозначено А, тогда связь между цифрами в знаковых разрядах и величиной и знаком числа А выглядит следующим образом:
| ЗН[0] | ЗН[1] | ||
| |S|< 1 | S> 0 | ||
| |S|< 1 | S< 0 | ||
| |S|≥ 1 | S> 0 | ||
| |S|≥ 1 | S< 0 |
Как следует из этой таблицы, несовпадение цифр в знаковых разрядах означает переполнение разрядной сетки. Рассмотренные выше правила выполнения операций сложения и вычитания справедливы также и при использовании модифицированных кодов.
1. 5. Алгоритмы алгебраического сложения и вычитания
Рассмотрим сначала указанные операции для чисел в форме с фиксированной запятой. Конкретные алгоритмы, которые используются для выполнения этих операций в арифметическо-логических устройствах (АЛУ), зависят от многих факторов, основными из которых являются:
- в каких кодах числа хранятся в оперативном запоминающем
устройстве (ОЗУ);
- в каких кодах выполняется операция вычитание.
|
|
|
В зависимости от этих факторов существуют алгоритмы следующих типов:
ПП - числа в ОЗУ хранятся в прямом коде, операция вычитание выполняется также в прямом коде;
ПД(ПО) – числа в ОЗУ хранятся в прямом коде, операция вычитание выполняется в дополнительном (обратном) коде;
ДД(ОО) - числа в ОЗУ хранятся в дополнительном (обратном) коде, операция вычитание выполняется также в дополнительном (обратном) коде.
|
|
|
