 |
Свободные колебания без учета сил сопротивления
|
|
|
|
Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы 
, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось О x (рис. 9.1) будет равна:
. (9.1)
Дифференциальное уравнение движения точки М имеет следующий вид:
, (9.2)
где с – коэффициент жесткости пружины [H/м], он показывает, какую силу необходимо приложить к пружине, чтобы растянуть или сжать её на единицу длины.
Разделив это уравнение на m и вводя обозначение 
, приведем его к виду:
. (9.3)
Уравнение (9.3) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде: 
. Пологая в уравнении (9.3) , получим для описания n так называемое характеристическое уравнение, имеющее вид: 
. Так как корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (n1,2=±ik),то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (9.3) имеет вид:
, (9.4)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования.
Если вместо постоянных С1 и С2 ввести постоянные а и a, такие, что 
, 
, то получим:
. (9.5)
Уравнение (9.5) есть уравнение гармонического колебания. То есть, в случае прямолинейного движения под действием восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию от центра, материальная точка совершает гармоническое колебание.
Величина а – наибольшее отклонение точки М от центра О,называется амплитудой колебания, аргумент 
называется фазой колебания, а величина a называется начальной фазой колебания.
Скорость точки при гармоническом колебании определяется по формуле:
|
|
|
. (9.6)
Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2p, следовательно kT=2p, откуда период
. (9.7)
Величина n, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний:
. (9.8)
Величина k отличается от n только постоянным множителем 2p, то есть эта величина определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2p секунд. Эта величина k называется круговой частотой колебания.
Значения а и a - определяются по начальным условиям движения. Считая при t=0 x=0 и v=v0, получим из (9.5) и (9.6) 
, 
, отсюда находим:
(9.9)
Итак, свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:
1. амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий;
2. круговая частота k, а следовательно, и период T колебаний от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.
Влияние постоянной силы на свободные колебания точки
Пусть на точку М,кроме восстанавливающей силы , направленной к центру О,действует еще и постоянная по модулю и направлению сила 
(рис. 9.2). В этом случае положением равновесия точки М будет центр О1, отстоящий от О на расстоянии ОО1 = dст, которое определяется равенством 
или
. (9.10)
Величина dст называется статическим отклонением точки.
Примем центр О1 за начало отсчета, координатную ось О1 x направим в сторону действия силы , тогда получим: 
. Учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения в виде:
или .
То есть постоянная сила не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы , а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения dст.
С учетом того, что 
, выражение (9.7) примет вид:
. (9.11)
 |
|
|
|
Затухающие колебания
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по оси x. На точку при ее движении действуют восстанавливающая сила и сила сопротивления 
(рис. 9.3). Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: 
, m - коэффициент сопротивления, , получим дифференциальное уравнение движения в виде:
(9.12)
Разделив обе части уравнения на m и вводя обозначения и 
, приведем уравнение к виду:
. (9.13)
Уравнение (9.13) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении пропорциональном скорости. Его решение, как и решение уравнения (9.3), ищут в виде . Подставляя это значение x в уравнение (9.13), получим характеристическое уравнение 
, корни которого будут
. (9.14)
Рассмотрим случай, когда k > b, то есть когда сопротивление мало по сравнению с восстанавливающей силой. Введем обозначение:
, (9.15)
получим из (9.14), что 
, то есть корни характеристического уравнения являются комплексными. Тогда решение уравнения (9.13) будет иметь вид:
(9.16)
или, по аналогии с равенством (9.5),
. (9.17)
Величины а и a являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.
Колебания, происходящие по закону (9.17), называют затухающими, так как благодаря наличию множителя е-bt величина x = ОМ с течением времени убывает, стремясь к нулю. График этих колебаний показан на рис. 9.4.
Промежуток времени Т1, равный периоду 
, называют периодом затухающих колебаний:
, (9.18)
Если учесть равенство (9.7), формулу (9.18) можно представить в виде:
. (9.19)
Из полученных зависимостей видно, что Т1> Т, то есть при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Но если сопротивление мало (b<< k), то величиной 
по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Т1» Т.
Промежуток времени между двумя последовательными отклонениями колеблющейся точки также равен Т1. Следовательно, если первое максимальное отклонение x1 происходит в момент времени t1, то второе отклонение x2 наступит в момент t2 = t1+ Т1 и т. д. Тогда, учитывая, что 
, из формулы (9.17) получим:
Аналогично для любого отклонения xn+1 будет 
. Таким образом, абсолютные значения отклонений колеблющейся точки М от центра О убывают по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии 
называется декрементом затухающих колебаний, а натуральный логарифм декремента – величина bT1, называется логарифмическим декрементом.
|
|
|
Из полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает их постепенное затухание.
В случаях, когда b> k или b= k, движение точки является апериодическим, то есть оно уже не имеет характера колебательного движения.
|
|
|
