 |
Статически неопределимые задачи.
|
|
|
|
Билет2
ОСЕВЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Осевой момент инерции фигуры - этоинтеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y:
Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса:
Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то 
, и формула полярного момента инерции равна сумме осевых моментов инерции относительно осей x и y:
Из формул осевых 
и полярного 
моментов инерции видно: значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, так как координаты 
и расстояние 
возведены в квадрат.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:
а) проверочный расчет – проверить выдержит ли вал приложенную нагрузку; б) проектировочный расчет – определить размеры вала из условия его прочности; в) расчет по несущей способности – определить максимально допустимый крутящий момент.
При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:
1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;
2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого материала допускаемое напряжение [τ]=[σ]/2; 3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении
Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:
|
|
|
Для сплошного круглого сечения W ρ =π* d 3 
16, отсюда можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его прочности:
Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость по формуле
здесь [θ] – допустимый относительный угол закручивания вала.
Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры вала из условия жесткости:
Учитывая, что для сплошного круглого сечения J ρ =π* d 4 32, можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:
Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости.
Билет 3
1.Центробежным моментом инерции сечения относительно осей x и y называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:
Jxy = 
AxydA
где x,у — расстояние от элементарной площадки dA до осей х и y (смотри рисунок).
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю. Если взаимно перпендикулярные оси x и y или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Jxy =0.
 Полярный момент инерции относительно какой – либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.
J  = Jx + Jy
|
Статически неопределимые задачи.
При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает число уранений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).
Рассмотрим для примера стержень с двумя заделанными концами (рис. 2.16, а). Такой стержень статически неопределим, так как для нахождения двух реактивных моментов, возникающих в заделках, статика дает лишь одно уравнение равновесия.
|
|
|
Отбросим одну заделку, заменив ее действие неизвестным моментом Х (рис. 2.15, б). Дополнительное уравнение (называемое, как известно, уранением деформации или уравнением перемещений) получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной заделки, равный углу закручивания стержня под действием моментов Т и Х, равен нулю (
= 0).
В получившейся статически определимой системе, называемой основной системой, поворот сечения В происходит под действием внешнего момента и момента Х. Угол поворот сечения В под действием момента Х равен
где 
Угол поворота сечения В под действием момента Т равен
Подставляя эти значения и уравнение перемещений, получаем
Отсюда определяем Х.
После этого можно определить крутящий момент в любом сечении и построить эпюру Тк и эпюру углов закручивания. Для построения эпюры 
достаточно вычислить угол поворота сечения С. Он равен
Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как угол поворота сечения линейно зависит от расстояния [см. формулу (2.19)], то полученные точки эпюры можно соединить прямыми линиями. Эпюры Тк и представлены на рис. 2.16, в, г
Билет 4
1.Моменты инерции относительно параллельных осей.
Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.
Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.
Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем 
. Проведем в плоскости фигуры ось 
параллельно оси у на расстоянии 
от нее. Найдем зависимость между 
и 
— моментом инерции относительно оси 
. Для этого напишем выражения для 
и 
. Разобьем площадь фигуры на площадки 
; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем 
и 
. Тогда
|
|
|
и 
Из рис.1 имеем:
Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,
| (1) |
т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:
Найдем также центробежный момент инерции 
относительно осей 
, параллельных центральным, если известен 
(Рис.1). Так как по определению
где: 
, 
то отсюда следует
Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:
| (2) |
Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.
|
|
|
