Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

 

Дисперсией называется мера разброса возможных исходов относительно ожидаемого значения: чем выше дисперсия, тем больше разброс. Для расчета дисперсии дискретного распределения используется следующая формула:

 

(2.2)

Как показывает (2.2), дисперсия есть сумма квадратов отклонений от сред­него ожидаемого значения, взвешенная на вероятность появления каждого от­клонения. Рассчитаем, например, дисперсию доходности проекта 2 по данным табл. 2.1. Нам известно, что ожидаемая доходность проекта, k, равна 12.0%. Следовательно, расчет дисперсии по формуле (2.2) и данным табл. 2.1 произво­дится следующим образом:

 

 

Дисперсию измеряют в тех же единицах, что и исходы, в данном случае в про­центах в квадрате.

Поскольку интерпретация термина «процент в квадрате» затруднительна, в качестве другого измерителя разброса индивидуальных значений вокруг сред­него часто используется среднее квадратическое отклонение, представляющее собой квадратный корень из дисперсии:

 

(2.3)

Так, среднее квадратическое отклонение доходности проекта 2 можно найти следующим образом:

 

 

Используя этот показатель в качестве меры разброса, можно сделать ряд полез­ных выводов о распределении исходов. В частности, если распределение явля­ется непрерывным и близким к нормальному, можно утверждать, что 68.3% всех исходов

Таблица 2.2

Оценка доходности и риска четырех альтернативных вариантов инвестирования

 

Показатель	Варианты инвестирования
казна­чейские векселя	Корпорационные облигации	проект 1	проект 2
1. Ожидаемая доходность (), % 2. Дисперсия () 3. Среднее квадратическое отклонение (), % 4. Коэффициент вариации (CV)	8.00 0.00 0.00   0.00	9.20 0.71 0.84   0.09	10.30 19.31 4.39   0.43	12.00 23.20 4.82   0.40

 

лежит в пределах одного среднего квадратического отклонения от ожидаемого значения, 99.5% — в пределах двух средних квадратических отклонений и практически все исходы (99.7%) — в пределах трех средних квадратических отклонений.3

В табл. 2.2 приводятся ожидаемые значения доходности, дисперсия и сред­нее квадратическое отклонение по всем четырем альтернативным вариантам ин­вестирования, а также коэффициент вариации, который мы рассмотрим в сле­дующем разделе. Мы видим, что казначейские векселя обладают наименьшими значениями показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения, а проекту 2 соответствуют наибольшие их значения.

По данным табл. 2.2 можно, казалось бы, прийти к заключению, что казна­чейские векселя — наименее рисковый вариант инвестирования, а проект 2 — наиболее рисковый. Однако это не всегда верно; перед тем как сделать оконча­тельный вывод, необходимо принять во внимание ряд других факторов, таких как численные значения ожидаемой доходности, асимметрия распределения, до­стоверность наших оценок распределения вероятностей и взаимосвязь каждого актива с другими активами, включенными в портфель инвестиций.4

Коэффициент вариации

 

Как правило, чем выше ожидаемая доходность, тем больше величина сред­него квадратического отклонения. Предположим, например, что ожидаемая доходность проекта X составляет 30%, среднее квадратическое отклонение — 10%, а ожидаемая доходность проекта У равна 10%, среднее квадратическое от­клонение — 5%. Если распределение доходности проектов приблизительно нор­мальное, вероятность того, что доходность проекта X окажется отрицательной, очень мала, несмотря на то что его среднее квадратическое отклонение равно 10%, в то время как для проекта У, значение а которого в два раза меньше по сравнению с проектом X, вероятность убытков будет значительно выше. Сле­довательно, прежде чем использовать а в качестве меры относительного риска инвестиций с различной ожидаемой доходностью, необходимо стандартизиро­вать среднее квадратическое отклонение и рассчитать риск, приходящийся на единицу доходности. Сделать это можно при помощи коэффициента вариации, который представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к ожидаемому значению доходности:

(2.4)

 

Проект X: CV_X = 10%: 30% =0.33, проект У: CVy = 5%: 10% =0.50.

Таким образом, видно, что на самом деле по проекту У риск на единицу ожи­даемой доходности больше по сравнению с таковым проекта X. Следовательно, можно утверждать, что проект У является более рисковым, чем проект X, не­смотря на то что среднее квадратическое отклонение для проекта X выше, чем для проекта У.

В 4-й строке табл. 2.2 приведены значения коэффициентов вариации для четырех исходных вариантов инвестирования. Как следует из данных таблицы, классификация проектов по коэффициенту вариации как мере риска отличается от классификации, основанной на измерении риска с помощью а: проект 2 является более рисковым, чем проект 1, по критерию среднего квадратического отклонения, а после корректировки различий в доходности и измерения риска с помощью коэффициента вариации вывод будет прямо противоположным.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: