Ожидаемая доходность портфеля
Ожидаемая доходность портфеля представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный портфель:
где
Риск портфеля
Как было отмечено, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную из ожидаемых доходностей отдельных акций, входящих в портфель, а вклад каждой акции в ожидаемую доходность портфеля равен
Из акций W и М можно составить безрисковый портфель, поскольку показатели их доходности изменяются в противоположных направлениях: когда доходность W уменьшается, доходность М возрастает, и наоборот. Если говорить языком статистики, между показателями доходности акций W и М имеет место обратная функциональная связь, т. е. коэффициент корреляции r = -1.0.6 Случаем, противоположным функциональной обратной связи (r = -1.0), является прямая функциональная зависимость (r = +1.0). Показатели доходности двух акций в этом случае изменяются в одном и том же направлении, а риск портфеля, состоящего из двух таких акций, будет равен риску каждой из этих акций. На рис. 2.3 приводится графическая иллюстрация этой ситуации - объединение в портфель акций М и М', между которыми существует прямая функциональная связь. Видно, что средние квадратические отклонения портфеля и его составляющих совпадают, следовательно, диверсификация в этом случае не приводит к снижению риска. Из рис. 2.2 и 2.3 следует: 1) если между акциями существует обратная функциональная связь (r = —1.0), риск портфеля может быть сведен к нулю, и 2) если между акциями имеет место прямая функциональная связь (r = +0.1), диверсификация не приводит к снижению риска. В действительности большинство акций положительно коррелируют друг с другом, но эта связь не является функциональной. Коэффициент корреляции двух случайным образом выбранных акций на Нью-Йоркской фондовой бирже составляет около +0.6, а в большинстве случаев r лежит в пределах от +0.5 до +0.7. При таких условиях объединение акций в портфель снижает риск, однако полностью его не элиминирует. Графически ситуация объединения в портфель двух акций с коэффициентом корреляции r = +0.65 представлена на рис. 2.4. Средняя фактическая доходность портфеля равна 15.0% и совпадает со средней фактической доходностью каждой из акций. Между тем среднее квадратическое отклонение портфеля, равное 20.6%, меньше, чем среднее квадратическое отклонение любой из акций. Таким образом, риск портфеля не равен среднему из рисков составляющих его акций, а диверсификация приводит к снижению, но не к полному устранению риска.7
Рис. 2.2. Распределения доходности акций W и М, связанных обратной функциональной связью (r = -1.0), и портфеля W, М. а — доходность; б — распределение вероятностей значений доходности.
Рис. 2.3. Распределения доходности акций М и М', связанных прямой функциональной связью (r = +1.0), и портфеля М, М'. Обозначения те же, что на рис. 2.2.
Рис. 2.4. Распределения доходности двух коррелирующих акций (r = +0.65) и портфеля W, Y. Обозначения те же, что на рис. 2.2.
Из приведенного примера следует, что в одном из экстремальных случаев (r = -1.0) риск может быть полностью сведен к нулю, а в другом (r = +1.0) диверсификация вообще не приводит к снижению риска. Во всех остальных случаях объединение двух акций в портфель позволяет лишь снизить, но не элиминировать риск владения каждой из акций.8
Измерение риска портфеля
В предыдущем разделе анализ риска портфеля выполнялся в самом общем виде. Целесообразно рассмотреть, каким образом риск портфеля измеряется и исследуется на практике. Во-первых, мерой риска портфеля может служить показатель среднего квадратического отклонения распределения доходности, для расчета которого используется формула.9
где Эта формула полностью совпадает с формулой расчета среднего квадратического отклонения отдельного актива (2.3), за исключением того факта, что в данном случае под активом понимается портфель активов (например, взаимный фонд). Ковариация и коэффициент корреляции. Основными понятиями, используемыми для анализа портфеля, являются: 1) ковариация и 2) коэффициент корреляции. Ковариация — это мера, учитывающая дисперсию (или разброс) индивидуальных значений доходности акции и силу связи между изменением доходностей данной акции и всех других акций. Например, ковариация между акциями А и В показывает, существует ли взаимосвязь между увеличением и уменьшением значения доходности этих акций, и, кроме того, показывает силу этой взаимосвязи. Ковариация (Cov) между акциями А и В рассчитывается следующим образом:
Первый множитель в круглых скобках после знака суммы представляет собой отклонение доходности акции А от ее ожидаемого значения при n-м состоянии
Таблица 2.3 Распределения вероятностей доходности акций Е, F, G и Н (в %)
экономики; второй множитель — это отклонение доходности акции В для того же состояния экономики;
1. Если значения доходности акций А и В изменяются в одинаковом направлении, оба множителя в скобках будут либо положительными, либо отрицательными при любом состоянии экономики; т. е. если 2. Если доходность либо А, либо В имеет высокую степень неопределенности, ее среднее квадратическое отклонение будет достаточно большим, соответствующие множители в скобках и, следовательно, их произведения также будут большими, в результате чего абсолютное значение Cov(A,B) окажется высоким. Однако Cov(A, В) будет низкой даже в условиях, когда 3. Если среднее квадратическое отклонение одной из акций равно нулю и, следовательно, она является безрисковой, то любое из отклонений ( 4. Следовательно, Cov(A,B) имеет высокое положительное значение, если значения доходности двух активов изменяются однонаправленно и имеют большую степень колеблемости; она имеет высокое отрицательное значение, если значения доходности изменяются в противоположных направлениях; и наконец, она является низкой, если колебания показателей доходности двух активов в сторону увеличения или уменьшения носят случайный характер, либо колеблемость значений одного из активов невелика.
Для иллюстрации алгоритма расчетов обратимся к данным табл. 2.3, в которой приводятся распределения вероятностей доходности четырех акций, и рис. 2.5, на котором построены графики разброса доходностей некоторых пар акций. Используя формулу (2.7), рассчитаем ковариацию между акциями F и G: Отрицательное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в противоположных направлениях, что соответствует графику на рис. 2.5, б. Расчет ковариации между акциями F и Н дает результат Cov (F, Н) = +10.8 и показывает, что доходность этих активов изменяется однонаправленно, чему соответствует на рис. 2.5, в острый угол наклона регрессии к оси абсцисс. Нулевое значение ковариации, например между акциями Е и F, означает, что взаимосвязь между переменными отсутствует, т. е. они независимы (доходность Е всегда равна 10%, следовательно, Содержательно интерпретировать численное значение ковариации достаточно сложно, поэтому очень часто для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции. Этот коэффициент позволяет стандартизировать ковариацию путем деления ее на произведение соответствующих средних квадратических отклонений и привести величины к сопоставимому виду. Коэффициент корреляции между переменными А и В рассчитывается следующим образом:
Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации, поэтому положительная его величина означает однонаправленное изменение переменных, а отрицательная — их изменение в противоположных направлениях. Если значение г близко к нулю, связь между переменными слабая. Кроме того, процедура стандартизации приводит к тому, что коэффициент корреляции принадлежит интервалу от —1.0 до +1.0. Отметим также, что формула (2.8) может использоваться для расчета ковариации:
Доходность акций: а — Е и F (r = 0); б — F и G (r = -1.0); в — F и Н (r ≈ 0.9); r — G и Н (r ≈-0.9). Линии, показанные на каждом графике, называются линиями регрессии (подробнее они обсуждаются в главе 3); графики построены исходя из предположения, что все события, показанные точками, имеют равную вероятность появления. Используя (2.8), находим, что коэффициент корреляции между акциями F и G равен —1.0 (не учитывая ошибку округления): Можно сказать, что между этими акциями имеет место обратная функциональная связь. Рис. 2.5 показывает, что угол наклона линии регрессии доходности акций F и G тупой, а все точки принадлежат линии регрессии. Если все точки лежат на линии регрессии, r должно быть равно +1.0 при остром угле наклона линии регрессии к оси абсцисс и —1.0 — при тупом. Коэффициент корреляции между акциями F и Н составляет +0.9. Таким образом, между ними существует сильная прямая взаимосвязь: соответствующая линия регрессии имеет острый угол наклона, однако не все точки принадлежат этой линии. Как правило, чем меньше расстояние от отдельных точек до линии регрессии, тем выше абсолютное значение коэффициента корреляции, за исключением случая, когда дисперсия одного из активов равна нулю. Портфель, состоящий из двух активов. Если предположить, что распределения доходности отдельных ценных бумаг являются нормальными, то для деления риска портфеля, состоящего из двух активов, может использоваться следующая формула, весьма громоздкая по виду, но достаточно удобная в вычислительном плане:10 где x — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу А, следовательно 1—x: — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В.
Вопросы для самопроверки Что такое портфель активов? Как измеряется риск портфеля? Что измеряет коэффициент корреляции?
Эффективные портфели Одним из важнейших применений статистических методов измерения взаимосвязей является выбор эффективных портфелей, т. е. таких портфелей, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность при любом уровне риска или минимальный уровень риска для любой ожидаемой доходности. Чтобы проиллюстрировать это понятие, предположим, что необходимо вложить капитал в ценные бумаги А и В, причем распределение капитала между этими ценными бумагами может быть любым. Предположим далее, что ожидаемая доходность ценной бумаги А Для определения допустимого множества нужно иметь данные об уровне корреляции между показателями ожидаемой доходности двух ценных бумаг ( r A,B)- Рассмотрим три возможных значения коэффициента корреляции: r A,B =+1.0, r A,B = 0 и r A,B = -1.0, и вычислим по этим значениям ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение портфеля (в действительности, естественно, будет только одно значение коэффициента корреляции; но в примере рассматриваются три альтернативных варианта, которые могут иметь место). Для расчета
Таблица 2.4 Значения
Остальные значения Для расчета В табл. 2.4 приведены значения 1. Три графика в верхней части рис. 2.6 соответствуют варианту прямой функциональной связи между двумя активами с r A,B = +1.0. Три графика в середине рис. 2.6 соответствуют варианту независимости активов, когда коэффициент корреляции равен нулю, а три графика в нижней части рисунка — варианту обратной функциональной связи. 2. Все три варианта являются теоретическими в том смысле, что на практике они встречаются чрезвычайно редко. В реальной действительности r A,B большинства акций находится в пределах от +0.5 до +0.7. Графики, соответствующие варианту II, наиболее близки к реальным примерам с точки зрения формы представленных на них кривых. 3. При рассмотрении рис. 2.6 в вертикальном разрезе левый ряд графиков (рис. 2.6, а) характеризует изменение ожидаемой доходности портфеля в зависимости от различных сочетаний А и В. Видно, что в каждом случае эти графики абсолютно идентичны: доходность портфеля 4. Рис. 2.6, б характеризует влияние на риск структуры портфеля. Видно, что риск портфеля сгр является линейным в варианте I при r A,B — +1,0, он нелинеен в варианте II, а в варианте III для r A,B = — 1.0 может быть полностью сведен к нулю. Таким образом,
5. На рис. 2.6,в показано допустимое, или возможное, множество портфелей, имеющих различную структуру. По данным табл. 2.4 на каждый из трех графиков были нанесены значения пар точек кр и <тр. Например, точка А верхнего графика имеет координаты 6. Являются ли все портфели, принадлежащие допустимому множеству, в Из приведенных примеров следует, что в одном из экстремальных случаев (r = —1.0) риск может быть полностью элиминирован, тогда как в другом экстремальном случае (r = +10) диверсификация не приводит к каким-либо улучшениям. Во всех остальных случаях объединение двух акций в портфель ведет к снижению риска отдельных акций, однако не устраняет его полностью.11
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|