Период и частота колебаний. Распространение колебаний, волны

    Для тела, совершающего незатухающие гармонические колебания по закону

x = x _o· sin ω t,

скорость можно найти как первую производную от х по времени. Ускорение находят как вторую производную от х по времени. Таким образом, получаем

v = dx / dt = x _oω · cos ω t;

v = v _o · cos ω t = v _o· sin (ω t + π/2),

где v _о = x _oω – амплитуда скорости. Из полученных соотношений видно, что скорость тела, как и смещение, изменяется со временем по гармоническому закону, но имеет фазу, опережающую фазу смещения на π/2. Так как скорость при гармонических колебаниях непрерывно меняется, то такое движение происходит с ускорением, определяемым соотношением

a = dv / dt = – v _oω · sin ω t = – a _o· sin ω t = a _o· sin (ω t + π).

Здесь a _o= v _oω= x _oω² – амплитуда ускорения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на π, а от фазы скорости на π/2. Периодом гармонического колебательного движения называется наименьшее время Т, по истечении которого все величины, характеризующие это движение (x, v, a) в точности принимают первоначальные значения. Чтобы тригонометрические функции, описывающие гармоническое колебание, одновременно приняли первоначальные значения, их аргументы (т.е. фазы) должны измениться на 2π· n, где n – целое число. Период колебаний соответствует изменению фазы на 2π. Следовательно, ω T = 2π; ω называется круговой или циклической частотой колебаний. Величина ν = 1/ Т называется линейной частотой колебаний, она показывает, сколько колебаний происходит за единицу времени. Обе частоты имеют размерность с^-1 = Гц (Герц).

    Если колеблющееся тело находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды. Вследствие этого в прилегающих к телу элементах среды возникают периодические деформации. При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия. Благодаря взаимодействию соседних элементов среды упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от колеблющегося тела. Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положения равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации. Процесс распространения колебательного движения в среде называют волновым процессом или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом упругих деформаций различают волны продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний. В поперечных волнах частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

    При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды и изменение этих величин со временем. Рассмотрим простейший случай, когда вдоль некоторого направления Х распространяется плоская синусоидальная волна: волна, в которой колебания происходят в одной плоскости. Обозначим через Y колеблющуюся величину. Этой величиной может быть и смещение частиц относительно их положения равновесия, и отклонение давления или плотности в данном месте среды от равновесного значения и т.д. Пусть начало отсчета выбрано так, что в начальной точке при t = 0, Y = 0, то есть начальная фаза φ_о = 0. Тогда уравнение гармонического колебательного движения будет иметь вид

Y = Y _o· sin ω t.

Требуется найти фазу колебаний в любой другой точке вдоль направления распространения волны, отстоящей на расстоянии х от начальной. Поскольку эта точка расположена на расстоянии х, то в ней в момент времени t колебания будут происходить в той фазе, какая была в начальной точке на х / с секунд раньше. Здесь с – скорость распространения фазы колебаний. Таким образом, фаза колебаний в рассматриваемой точке будет равна ω(t – x / c). Следовательно, значение колеблющейся величины Y в рассматриваемой точке в момент времени t определится соотношением

Y = Y _o· sin [ω(t – x / c)].

Это соотношение называется уравнением синусоидальной волны, здесь с – фазовая скорость волны. Кратчайшее расстояние между двумя точками волны, находящимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. Можно сказать, что волна повторяется через промежуток λ. Связь между скоростью с, длиной λ и частотой волны ν имеет вид:

с = λ·ν.

    Понятие фазовой скорости применимо только к гармонической волне. В действительности приходится иметь дело с импульсами, ограниченными в пространстве и во времени. При наблюдении импульса можно выделить место его наибольшей интенсивности, а скорость распространения этого максимума отождествить со скоростью импульса. Всякую несинусоидальную волну можно представить в виде суммы синусоидальных волн с различными частотами. Это называется разложением в ряд Фурье. В среде, где скорость распространения волн зависит от частоты, гармонические составляющие импульса будут распространяться с различными фазовыми скоростями. Как результат этого, импульс в процессе распространения деформируется. Мы можем наблюдать за распространением максимума импульса в пространстве, но скорость его перемещения не будет совпадать с фазовой скоростью любой из составляющих импульс гармонических волн. Эта скорость называется групповой. Групповая скорость – это скорость переноса энергии несинусоидальной волной, такая волна образована группой синусоидальных волн. При распространении волнового импульса, образованного группой синусоидальных волн с близкими частотами, можно говорить не только о его групповой скорости U, но и фазовой скорости v. Связь между этими скоростями определяется формулой Рэлея

 .

Если , то есть с ростом длины волны λ растет фазовая скорость, групповая скорость будет меньше фазовой. При , то есть когда фазовая скорость убывает с ростом длины волны, групповая скорость будет больше фазовой.