Метод оптимальной маршрутизации, основанный на построении остова минимальной стоимости графовой модели ТКС
Задача статической маршрутизации для остовного алгоритма полагает, что в качестве решения задачи маршрутизации алгоритм прокладывает от заданного узла-источника до каждого узла-получателя ТКС ровно один маршрут. При этом структура ТКС считается фиксированной, т.е. не изменяющейся с течением времени, и не учитываются такие параметры, как интенсивность потоков данных и текущая загрузка каналов связи ТКС. Постановка задачи оптимальной маршрутизации пакетов данных в статических (фиксированных) ТКС для остовного алгоритма следующая. Пусть статическая модель ТКС представлена графом G(A,R,W) и задана пара узлов , первый из которых является узлом-источником, а второй – узлом-получателем. Требуется найти маршрут передачи пакетов данных из s в f минимальной стоимости. Так как любой подмаршрут оптимального маршрута является оптимальным, то для решения задачи оптимальной маршрутизации достаточно построить дерево кратчайших маршрутов для каждого узла-источника . В случае симметричных статических ТКС, у которых веса каналов связи (ребер графа) одинаковы в обоих направлениях и не изменяются с течением времени, любое дерево кратчайших маршрутов для одного узла будет деревом кратчайших маршрутов для всех остальных узлов. Это означает, что в симметричных ТКС задача оптимальной маршрутизации сводится к задаче построения остова минимальной стоимости, т.е. максимального связного подграфа T графа G, не содержащего циклов, сумма стоимостей ребер которого минимальна. Рассмотрим алгоритм построения такого остова. Работа алгоритма: Алгоритм выполняется итеративно за конечное число шагов. Сначала выбираем произвольный узел и полагаем, что
T =({ s }, Ø, W). (2.3.4) Шаг алгоритма: выбираем ребро с минимальным весом такое, что его начальный узел, принадлежит графу T, а конечный узел – не принадлежит T, и добавляем его вместе с конечным узлом в T, т.е. . (2.3.5) Алгоритм выполняется до тех пор, пока в T не войдут все вершины графа G. Теорема 2.3.1: Граф T, построенный по остовному алгоритму, будет остовом минимальной стоимости графовой модели G симметричной статической ТКС. Для доказательства этой теоремы потребуется следующая лемма. Лемма 2.3.1: Для любого узла ai Î A графа G(A,R,W) симметричной ТКС инцидентные ему ребра (ai, aj)Î R минимальной стоимости содержатся в графе T вида (2.3.4), (2.3.5). Доказательство леммы 2.3.1: При построении графа T возникает два случая, когда на очередном шаге алгоритма существует возможность включения ребра (ai, aj) в T: 1) ; 2) . Рассмотрим первый случай. Так как ai принадлежит T, то либо ai = s (тогда согласно (2.3.5) ребро (ai, aj) будет включено в T на первом шаге), либо на каком-то шаге узел ai включен в T вместе с ребром, чья стоимость, с одной стороны, меньше стоимостей всех остальных ребер, которые не принадлежат T и инцидентны узлам, входящим в T, а, с другой стороны, – больше, чем стоимость ребра (ai, aj). Тогда из (2.3.5) следует, что ребро (ai, aj) будет включено в T на следующем шаге. Во втором случае будем рассматривать шаг алгоритма, на котором в T будет включен узел ai. Согласно (2.3.5) этот узел войдет в T вместе с ребром (ai, aj), так как его стоимость среди всех инцидентных ai ребер – минимальна. Таким образом, лемма 2.3.5 доказана. Доказательство теоремы 2.3.5. Так как граф G симметричной ТКС – связный, то на каждом шаге алгоритма множество ребер, начало которых принадлежит T, а конец – нет, будет непустым. Таким образом, процесс построения не закончится, пока в T не войдут все вершины графа G. Так как на каждом шаге алгоритма к графу T добавляется по одному узлу и одному ребру, а в начале он содержит только один узел и одно ребро, то в конце он будет состоять из N узлов и N-1 ребра (где N – число узлов в графе G). Это означает, что T будет остовом графовой модели G ТКС. Докажем, что его стоимость будет минимальной.
Рассуждая от противного, предположим, что существует остов T1 такой, что сумма весов его рёбер меньше суммы весов рёбер остова T. Тогда справедливо соотношение . (2.3.6) Однако это соотношение противоречит утверждению леммы 2.3.1. Следовательно, соотношение (2.3.6) неверно и стоимость T действительно минимальна. Теорема 2.3.1 доказана. Она является теоретическим обоснованием остовного алгоритма оптимальной маршрутизации. Пример работы этого алгоритма приведен на рис.2.3.4., где остов с минимальной стоимостью выделен жирными линиями.
Рис. 2.3.4. Пример симметричного графа ТКС с построенным в нем остовом минимальной стоимости.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|