 |
Релятивистский импульс. Энергия покоя. Релятивистский инвариант
|
|
|
|
Релятивистский импульс
В классической механике, при v < < c импульс тела равен:
.
В релятивистской механике, которая описывает движения тел со скорост я- ми, близкими к скорости света,
. (12. 4)
Выражение для релятивистского импульса отличается от классического
множителем.
Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в кла с-
сической:
но (12. 5)
Релятивистское выражение для энергии имеет следующий вид:
(12. 6)
Энергия покоя
При скорости материальной точки v = 0 из (12. 6) получим, что:
– энергия покоя. (12. 7)
Кинетическая энергия (энергия движения)
Так как кинетическая энергия должна обращаться в ноль при v = 0, то из
(12. 6) и (12. 7) для нее следует:
. (12. 8)
Можно показать, используя разложение в ряд Маклорена, что из (12. 8)
при v < < c следует, что
т. е. совпадает с выражением (5. 8) для кинетической энергии в механике
Ньютона.
Формул у (12. 8) можно записать в следующем виде:
. (12. 8а)
Как видно из этой формулы, энергия частицы W состоит из ее энергии п о-
коя и кинетической энергии, поэтому в теории относительности W
называют полной энергией материальной точки. При этом в термин полная
|
|
|
энергия вкладывается, по сравнению с классической механикой, другой смысл
(там, в соответствии с (6. 8) это была сумма кинетической и потенциальной
энергии).
Релятивистский инвариант
Из (12. 6) и (12. 4) следует, что
. (12. 9) Так как справа от знака равенства в (12. 9) стоят величины, не зависящие от
выбора системы отсчета, то соотношение (12. 9) между энергией и импульсом
будет и меть один и тот же вид в любой системе отчета. Иначе говоря, оно инв а-
риантно относительно выбора системы отсчета, т. е. является релятивистским
инвариантом. Подчеркнем, что инвариантной величиной является и масса тела
m. Иными словами, масса тела m не зависит от его полной релятивистской
энергии W. При изменении W в (12. 9) меняется также и р – импульс тела, их
комбинация (12. 9) остается неизменной. При р = 0 мы получаем из (12. 9) фо р-
мулу (12. 7):
. (12. 7а)
Таким образом , масса тела m пропорциональна его энергии покоя W
0. Это
утверждение носит название закона взаимосвязи массы тела и его энергии п окоя.
Энергия системы частиц. Взаимосвязь массы и энергии
Сложные тела можно рассматривать как сис тему частиц. Обозначим бу к-
вой М массу сложного тела – нашей системы из N частиц. Тогда по закону
|
|
|
взаим освязи массы тела М с его энергией покоя (12. 7а) имеем:
. (12. 10)
W х двух частей: суммы полных релятивистских эне р-
0 в (12. 10) состоит и
гий (12. 8а) частиц, из которых состоит сложное тело, и суммы потенциальных
энергий взаимодействия этих ча стиц (см. (6. 9)), т. е.:
. (12. 11)
Тело не будет распадаться на с оставляющие его частицы, если сумма к и-
нетических энергий частиц с потенциальной энергией будет отрицательна. Это
условие выглядит следующим образом:
. (12. 12)
В этом случае абсолютное значение величины энерг ии в левой части
(12. 12) называют энергией связи системы частиц. Энергию связи Wсв можно
истолковать как работу, которую необходимо затратить, чтобы удалить част и-
цы сложного тела на расстояние, где их притяжением друг к другу можно пр е-
небречь.
Обозначим энергию связи через Wсв, тогда:
. (12. 13)
С учетом сказанного, для связанной системы частиц из (12. 11), (12. 12) и
(12. 13) имеем для энергии покоя сложного тела:
. (12. 14)
Используя закон взаимосвязи массы тела М с его энергией покоя W
(12. 10) и полученное нами выражение для энергии покоя (12. 14), получим фо р-
мулу для массы М сложного тела:
. (12. 15)
Формула (12. 15) означает, что масса М сложного тела будет меньше су м-
мы масс частиц, образующих это связанное сложное тело, т. е.:
.
Разница m между суммой масс частиц и массой сложного тела называе т-
ся дефектом масс:
. (12. 16) Предсказание релятивистской механики, выраженное формулами (12. 15) и
|
|
|
(12. 16), получило весомое экспериментальное подтверждение в ядерной физ и-
ке. У атомных ядер на опыте обнаружен дефект масс и соответ ствующая ему,
как следует из (12. 15) и (12. 16), энергия связи:
. 12. 17) При соединении нуклонов (протонов и нейтронов) в атомное ядро, за счет
работы сил ядерного притяжения нуклонов, выделяется колоссальная энергия,
равная энергии связи. Величина этой энергии в расчете на один нуклон пр и-
мерно в миллион раз больше энергии, выделяющейся в элементарном акте г о-
рения. Например, в термоядерной реакции соединения двух ядер дейтерия в я д-
ро гелия выделяет ся 24 миллиона электронвольт энергии, а при соединении о д-
ного атома углерода с молекулой кислорода (сгорание угля) – лишь 5 электро н-
вольт
(1 электронвольт = 1, 6 10-19 Дж).
|
|
|
