 |
ИТОГИ ИЗ ЛЕКЦИИ № 9
|
|
|
|
Рис. 9. 2
§ 4. Гироскопы
Гироскопом называется быстро вращающ ееся массивное симметричное
тело, ось вращения которого (его ось симметрии) может изменять свое н а-
правл ение в пространстве.
У гироскопов, применяемых в
технике, свободный поворот оси г и-
роскопа обеспечивают, закрепляя г и-
роскопы в рамках (кольцах) кардан о-
ва подвеса (рис. 9. 3).
Такой гироскоп имеет три степ е-
ни свободы: он может совершать н е-
зависимые повороты вокруг трех
осей, пересекающихся в центре по д-
веса О.
Рис. 9. 3 76
Если центр тяжести гироскопа
совпадает с центром подвеса О, то
момент сил тяжести, действующих на
ги р о скоп, будет равен нулю.
Трение в подшипниках всех трех осей стараются сделать как можно мен ь-
ше, таким, чтобы моментом сил трения можно было пренебречь. С учетом эт о-
го, момент внешних сил относительно центра гироскопа можно считать
равным нулю. Как было показано в § 3 на основе формулы (9. 9), при этом усл о-
вии момент импульса гироскопа не изменяется с течением времени. Для
симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии, момент импульса, в
KKKKKKKKKK. ответствии с (9. 5), равен:
.
Таким образом, направление вектора угловой скорости гироскопа ост а-
ется неизменным с течением времени.
Это значит, что ось гироскопа сохраняет свое направление в мировом пр о-
странстве неизменным. Если эта ось при раскрутке гироскопа была направлена
на какую -нибудь звезду, то при любых перемещениях гироскопа она будет пр о-
|
|
|
до л жать указывать на эту звезду.
Удивительным, с точки зрения житейского здравого смысла, является п о-
ведение гироскопа при дейст вии на него момента внешних сил.
Пусть, как это изображено на рис. 9. 4, ось гироскопа закреплена в точке О.
Сила тяжести казалось бы, должна поворачивать гироскоп вниз, в о-
круг оси y. Опыт же показывает, что гироскоп будет двигаться не по направл е-
нию силы , а перпендикулярно ей! Он будет вращаться относительно оси z
в сторону оси y.
Этот результат согласуется с предсказанием закона изменения момента
импульса (9. 9):
В самом деле, момент си лы тяжести относительно точки О, в соответствии
с формулой (8. 4), направлен по правилу правого винта вдоль оси y:
.
Бесконечно малое приращение момента импульса в соответствии с
(9. 9), будет направлено туда же:
. (9. 10)
На рис. 9. 4 вектор начального момента импульса изображен исход я-
щим из точки О. Вектор, изображающий момент импульса через промеж уток
времени dt, будет повернут относительно оси z в направлении оси y, так как
(рис. 9. 4):
.
Рис. 9. 4
Это парадоксальное, на первый взгляд, предсказание закона изменения
момента импульса, как было уже сказано выше, согласуется с реальным пов е-
дением гироскопа. Такое движение гироскопа называется регулярной прецесс ией.
Найдем угловую скорость прецессии пр. В соответствии с определением
(7. 1):
. (9. 11)
|
|
|
Из рис. 9. 4. радианная мера угла d будет равна:
. (9. 12) Из (9. 10) и (9. 12) следует, что
. (9. 13) Из (9. 11) и (9. 13) получим:
. 
(9. 14)
Подставляя , где - скорость вращения гироскопа, получим:
. (9. 15)
Формула (9. 15) замечательна тем, что в соответствии с ней угловая ск о-
рость прецессии будет постоянной при действии на гироскоп момента
внешней силы. При исчезновении этого момента также обращается в ноль.
Из (9. 15) следует , что чем больше момент импульса гироскопа , тем
меньше ск орость прецессии.
Отметим, что формула (9. 15) справедлива при условии, что угловая ск о-
рость вращения гироскопа намного больше, чем скорость прецессии, т. е., если
.
В заключение скажем, что в настоящее время разработаны и используются
гироскопы, работающие на других физических принципах. Это волоконно -
оптические гироскопы, лазерные гироскопы, ядерные гироскопы.
ИТОГИ ИЗ ЛЕКЦИИ № 9
1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
отн о сительно закрепленной оси имеет следующий вид (9. 2):
.
2. Моментом импульса абсолютно твердого тела относительно оси z
(9. 4) называется произведение момента инерции на угл овую скорость :
|
|
|
3. Основное уравнение динамики вращательного движения можно зап и-
сать в виде (9. 6):
4. Момент импульса материальной точки относительно произвольной
точки О пространства равен векторному произведению радиус -вектора на
импульс (9. 8):
5. Момент имп ульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульса материальных точек, входящих в систему (9. 7):
6. Закон изменения момента импульса системы со временем имеет сл е- дующий вид (9. 9):
здесь – суммарный момент внешних сил.
7. Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса системы
ма териальных точек остается постоянным, если суммарный момент внешних
сил равен нулю.
8. Гироскопом называе тся быстро вращающееся массивное симметричное
тело, ось вращения которого (его ось симметрии) может изменять свое напра в-
ление в пространстве.
9. Если центр тяжести гироскопа совпадает с центром подвеса, то ось г и-
роскопа сохраняет свое направление в простра нстве неизменным.
10. При действии на гироскоп момента внешних сил он совершает преце с-
сию (см. рис. 9. 4) со скоростью определяемой формулой (9. 15):
,
где – модуль момента внешних сил, д ействующих на гироскоп;
I – м о мент инерции гироскопа;
– угловая скорость его вращения.
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
|
|
|
