 |
Уравнение динамики вращательного движения
|
|
|
|
Рис. 8. 4
Ниже приведем моменты инерции I0 для некоторых тел.
Обруч , где R – радиус обруча. (8. 13
Диск: , где R – радиус диска. (8. 14)
Шар: , г де R – радиус шара. (8. 15)
Стержень: , где l – длина стержня; (8. 16)
m – масса рассматриваемых тел.
Приведем пример применения теоремы Штейнера для нахождения моме н-
LLLLLLLLLL. инерции тонког о однородного стрежня относительно перпендикулярной к
нему и проходящей через конец стержня оси В нашем примере опр е-
деляется формулой (8. 16), величина a = l/2. Применяя теорему Штейнера (8. 12),
пол у чим:
. (8. 17)
В заключение отметим, что всякое тело, независимо от того, вращается оно
или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси подобно
тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находи т-
ся в покое. (При вращательном движении момент инерции является мерой
инертности. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения этой
массы относ ительно оси вращения. )
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 8
1. Мерой внешнего воздействия при вращательном движении твер дого те-
ла вокруг закрепленной оси является момент силы относительно оси z. М о-
дуль момента силы дает формула (8. 2):
и иллюстрирует рис. 8. 1.
2. Элементарная работа dA при повороте на уг ол d равна произведению
|
|
|
мо мента силы на угол поворота d и выражается формулой (8. 1):
.
3. Момент инерции твердого тела относительно оси z является мерой
инертности при вращательном дви жении и по определению (8. 5) равен сумме
прои зведений масс на квадраты их расстояний до оси вращения:
4. Кинетическая энергия при вращательном движении находится по
формуле (8. 6):
.
5. Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции I относительно
любой оси, если известен момент инерции относительно оси, параллельной
да н ной и проходящей через центр инерции тела (8. 12):
здесь а – расстояние между осями.
ЛЕКЦИЯ № 9
Уравнение динамики вращательного движения
Момент импульса
Закон сохранения момента импульса
§ 1. Уравнение динамики вращательного движения
Как отмечено в лекции № 7, § 5, для решения основной задачи механики
вращатель ного движения тела с закрепленной осью необходимо знать завис и-
мость углового ускорения от времени. Эта зависимость находится из уравн е-
ния динамики вращательного движения, которое аналогично второму закону
Ньютона (4. 4) в динамике материальной точки. Как мы выяснили в § 1, 2 пр е-
дыдущей лекции мерой внешнего воздействия при вращательном движении,
аналогом силы F, является момент силы относительно оси вращения Z;
аналогом массы, мерой инертности при вращательном движении, является м о-
мент инерции относительно оси Z. Роль ускорения играет угловое ускор е-
|
|
|
ние. По анал огии со вторым законом Ньютона можно сконструировать из
, , уравнение динам ики вращательного движения:
Так как мы рассматриваем вращение вокруг закрепленной оси z, то ура в-
нение динамики вращательного движения записано, в отличие от второго зак о-
на Нь ютона, не в векторном виде, а в скалярном. Можно строго доказать, что из
второго з акона Ньютона следует уравнение динамики вращательного движ е-
ния, т. е. стрелочка, связывающая две предыдущие формулы обозначает слово
«следует».
Мы получим уравнение динамики вращательного движения, опираясь на
LLLLLLLLLL. о рему о кинетической энергии. Из (5. 7) и (5. 8) имеем:
.
Работу dA и приращение кинетической энергии выразим, в соо т-
ветствии с формулами (8. 1) и (8. 6), через величины, характеризующие вращ а-
тельное движ ение:
.
Заменяя, в соответстви и с (7. 1а), и выполняя дифференцир о-
вание в правой части, получим:
.
Откуда
. (9. 1)
Наконец, используя определение углового ускорения (7. 2), п олучим ос-
новное уравнение динамики вращательного движения:
. (9. 2)
Отметим, что формула (9. 1) так же как и (9. 2), является выражением ура в-
нения динамики вращательного движения твердого тела о тносительно закре п-
ленной оси.
§ 2. Момент импульса
Запишем основной закон динамики вращательного движения в форме
(9. 1), а затем занесем момент инерции под знак производной по времени:
,
или
. (9. 3)
Формула (9. 3) эквивалентна формуле (9. 1) при постоянном моменте ине р-
ции. Более общей является формула (9. 3), она справедлива и в том случае, если
|
|
|
мо мент инерции тела изменяется с течением времени. Эта ситуация аналогична
соотношению между двумя формами записи основного закона динамики мат е-
риальной точки – второго закона Ньютона – в виде (4. 3а) и (4. 4).
Введем понятие момента импульса абсолютно твердого тела относ и-
тельно оси вращения Z следующим определением:
. (9. 4) Можно показать, что для однородного симметричного тела, вращающегося
во круг оси симметрии, справедлива векторная формула:
. (9. 5)
Формула (9. 5) утверждает, что вектор момента импульса направлен так
же, как и вектор угловой скорости.
Для несимметричных тел это утверждение справедливо, ес ли они вращаю т-
ся вокруг одной из главных осей инерции.
С учетом (9. 4) формулу (9. 3) можно записать в следующем виде:
. (9. 6)
Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения тела
вокруг неподвижной оси.
Понятие момента импульса используется не только для описания вращ е-
ния твердых тел, но и для более общего случая движения произвольной сист е-
мы материальных точек. В этом случае моментом импульса системы ма-
териальных точек называется векторная сумма моментов импульса мат е-
риал ьных точек, входящих в систему:
. (9. 7)
Момент импульса материальной точки относительно пр оизвольной
точки О пространства определяется как векторное произведение радиус -
вектора материальной точки, проведенного из точки О, на вектор импульса
|
|
|
этой матер иальной точки (см. рис. 9. 1), т. е.:
. (9. 8)
На рис 9. 1. материальная точка массы m движется по окружности радиуса r.
Начало координат выбрано в центре этой окружности, поэтому радиус -
вектор материальной точки начинается в це н-
тре окружности, по которой движется точка.
В этом случае векторное произведение
и, следовательно, момент импульса направл е-
Рис. 9. 1 ны перпендикулярно плоскости окружности, по
ко торой дви жется точка.
Опираясь на второй закон Ньютона в форме (4. 3), можно показать, что з акон
изменения со временем момента импульса системы имеет следующий вид:
, (9. 9)
здес ь – суммарный момент внешних сил.
При сделанных выше оговорках относительно осей вращения, закон изм е-
нения момента импульса (9. 9) применим и для описания вращения твердых тел.
§ 3. Закон сохранения момента импульса
По (9. 9) произво дная от момента импульса по времени равна суммарному
моменту внешних сил:
.
Если суммарный момент внешних сил = 0, то:
следовательно,
Мы получили закон сохранени я момента импульса , который формулир у-
ется так: момент импульса системы материальных точек остается постоя н-
ным, е сли суммарный момент внешних сил равен нулю.
Закон сохранения момента импульса можно применить к вращающемуся
телу.
Так как то величина будет иметь одинаковые значения
для любых интересующих нас моментов времени, т. е.:
,
или
.
Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его
угловая скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил в е-
личина останется постоянной.
Пример – фигурист в «волчке», схематически изображенный на рис. 9. 1,
илл ю стрирует применение закона сохранения момента импульса.
Фигурист , раскинув руки в стороны, отталкивается ногой ото льда и нач и-
нает вращаться с угловой скоростью 1. При этом его момент инерции I
|
|
|
1 за
счет отведенной в сторону ноги и раскинутых рук велик. Затем фигурист пр и-
жимает к туловищу руки и сводит вместе ноги, уме ньшая их расстояние до оси
вращения. П оэтому его момент инерции I I
2 становится заметно меньше, чем 1.
Так как трение об лед невелико, то можно считать, что момент импульса I о с-
тается постоянным, поэтому угловая скорость фигуриста 2 становится заме т-
но бол ьше, чем 1.
Аналогичные приемы используют балерины, выполняя фуэте, акробаты и
гимнасты, делая сальто. Во всех этих случаях работает закон сохранения м о-
мента импульса.
|
|
|
