ЛЕКЦИЯ № 10. Общие свойства жидкостей и газов. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли. жи д кости. Движение жидкости изображают с помощью линий тока.

жи д кости.

Характер движения жидкости может быть ламинарным и       турбулен тным.

При небольших скоростях жидкость течѐ т, как бы разделѐ нная на слои, кот орые

скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое тече   ние наз ывается

ламинарным. Течение, сопровождающееся образованием вихрей и перемеш и-

ванием слоѐ в, называется турбулентным. Ламинарное течение может быть у с-

тановившимся (стационарным) и неустановившимся. Турбулентное течение

всегда неустановившееся.

Установи       вшимся (стационарным) течением называется такое течение, при

котором в каждой точке данного объема скорость частиц жидкости не измен я-

ется со временем.

При установившемся движении частицы движутся вдоль линий, сохр а-

няющих свое положение в пространстве неизм енным.

В  реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относ и-

тельно друга возникают силы внутреннего трения. Эти силы тормозят относ и-

тельное движение слоев. Однако, в ряде случаев силами трения можно прене б-

речь и пользоваться                                    моделью идеальной жид кости.

§  2. Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности

Движение жидкости изображают с помощью линий тока.

Линии тока                                             – это линии, касательные к к                                       о-

v          v торым совпадают по направл ению с вектором

скорости частиц (рис. 10. 1).

Линии тока не прерываются и не пе ресек а-

ются, их густота пропорциональна скорости т е-

чения жидкости.

v

Рис 10. 1

Трубка тока – это часть потока жидкости, ограниченная линиями тока

(рис. 10. 2).

S

S2

V1                                                                        V2

Рис. 10. 2

При стационарном течении жидкости трубка тока со временем не измен я-

ется по ф орме, и частицы жидкости не проникают через боковую поверхность

трубок. Если жидкость идеальна, то в каждой трубке тока скорость п остоянна.

Если жидкость несжимаема, то через два различных сечения трубки тока про й-

дет одинаковый объем жидкости:           .

Объем жидкости, протекающий за время t через сечение S1 (рис. 10. 2),

равен                   , где   v                                                                скорость течения жидкости в месте сечения   S

1  –                                                                                                                       1.  

Объем жидкости, протекающий за время t через сечение S2 (рис. 10. 2),

равен                   , где v скорость течения жидкости в месте сечения S

2  –                                                                                                                               2.

Тогда:                    .

Для несжимаемой жидкости                                       уравнение неразрывности имеет вид:

.                                    (10. 1)

Откуда следует, что                  , т. е. скорость течения жидкости в трубе

переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения

трубы.

§  3. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью стаци о-

нарн                                                                       ого течения идеальной несжимаемой жидкости                                                                и ее давлением.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со

стор о ны жидкости на единицу площади, называется         давлением р жидкости.

,                  (10. 1а)

где     – нормальная сила;

–  площадь пластины, помещенной в

жи д кость.

–  Единица давления                                           – па с каль. Рис 10. 3

Выделим в стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости тру б-

ку тока. Рассмотрим стационарное течение жидкости, ограниченной трубкой

тока и перпенд                                                             икулярными к линиям тока сечениями    и                                                           (рис. 10. 4).

l

S                                                                   l2

P

1                                                 S

P

h1                                                                                                           2

h2

Рис 10. 4

В  сечении – давление, высота  , скорость течения.

В  сечении – давление, высота, скорость течения.

За малый промежуток времени  жидкость перемещается от с          ечений  и

к  сечениям и. Из механики известно (см. (6. 12)), что приращение пол-

ной механич                                                                       еской энергии незамкнутой системы равно рабо                                                           те внешних сил:

,                                            (10. 2)

здесь  – полная механическая энергия всей рассматриваемой нами жидкости,

за ключенной в выделенной трубке тока между сечениями  и;

–  полная механическая энергия той же жидкости, но уже через пром е-

жуток вр        емени                                                                         t, теперь эта жидкость заключена между сечениями                                                и.

Так как течение ст ационарно, то полная механическая энергия той части

рассматриваемой нами жидкости, что заключена между сечениями  и, за

промежуток времени t не изменится                                                          . Поэтому приращение полной механич         е-

ской энергии всей р ассматриваемой нами жидкости будет равно разности по л-

ных мех анических энергий объемов жидкости

(см. рис. 10. 4). Так как жидкость                 несжимаема     , то      . Масса жи д-

кости, заключенная в каждом из этих об ъемов, также од инакова и равна

,  где – плотность жидкости.

Найдем работу А   внеш                                                                          , совершаемую силами давления, приложенными к с                             е-

чениям  и:

.      (10. 3)

При выводе формулы (10. 3)                                     мы учли, что работа силы F2 отрицательна, так

как она направлена в сторону, противоположную течению жидкости, затем в ы-

разили силы   F1 и                    F2 через давления                                           р 1 и р 2 (в соответствии с определением да                     в-

ления 10. 1а) и, наконец, учли, что                    .

Теперь найдем полные механические энергии   W     W W

1  и    2. Для 1 имеем:

.                                      (10. 4) Для W

2  запишем аналогичное выражение:

.                                        (10. 5)

Подставляя (10. 4), (10. 5) и (10. 3) в (10. 2), получим:

(10. 6)

Поделив выражение (10. 6) на V и учитывая, что                – плотность

жидкости, п олучим:

.

Перенесем члены с одинаковыми индексами в одну                             часть равенства, пол                                                        у-

чим ура внение:

.

Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

.                                      (10. 7)

Выражение (10. 7) выведено швейцарским физиком и математиком Д. Бе р-

нул ли (работал в Петербургской академии наук) и называется уравнением

Бернулли.

Уравнение Бернулли представляет собой выражение закона сохранения

энергии применительно к стационарному течению идеальной несжимаемой

жидкости.

В  этом уравнении:   – гидростатическое давление, – динамич еское

давл е ние, р – статическое давление.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости,

LLLLLLLLLL. ура внение Бернулли позволяет определить скорость потока жидкости.

Уменьш ение статического давления в точках, где скорость потока больше,

полож ено в основу работы водоструйного насоса.

Уравнение Бернулли используется, например, для нахождения скорости

истеч ения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда.

Уравнение Бернулл и хорошо выполняется и для реальных жидкостей,

внутре ннее трение которых не очень велико.

§  4. Вязкость жидкости

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальной жидкости оказывать

сопротивление движению одной части жидкости относительно другой. При пе-

ремещении слоев жидкости, движущихся с разными скоростями, возникают с и-

лы внутреннего трения, направленные вдоль соприкасающихся слоев. Прич и-

ной внутреннего трения является перенос частицами жидкости импульса. В р е-

зультате, более медленно движущийся слой                                               жидкости ускоряется, а более б                                ы-

стрый слой замедляе тся.  

Сила внутреннего трения будет тем больше, чем больше площадь повер х-

ности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения

жидкости при переходе от слоя к слою.

На рис. 10. 5 услов но изображены

соприкасающиеся слои жидкости,

дв и жущиеся с неодинаковыми скор о-

стями         . Величина    назыв а-

ется гр адиентом скорости и показыв а-

ет, как быстро меняется скорость в н а-

правлении, перпендикулярном напра в-

Рис. 10. 5                    лен ию дв ижения слоев.

Модуль силы внутреннего трения равен:

,                                      (10. 8)

где  – динамический коэффициент вязкости.

разных сре                                                    Коэффициент вязкости зависит от температуры жидкости и различен для       д. Например, при температуре 20 о С коэффициенты динамической

вязкости ра вны:  

-  для воды: = 0, 001 Па с;  

-  для воздуха: = 0, 000017 Па с;  

-  для глицерина: = 0, 85 Па с.  

Характер течения вязкой жидкости определяется безразмерным числом, к о-

торое назы вается числом Рейнольдса:

(10. 9)

где  – коэффициент вязкости;

–  плотность жидкости;

< v > – средняя скорость течения;

L – линейный размер, в котором наблюдается неоднородность скорости.

Например, при движении шара в жидкости таким размером является ди а-

метр шара, при движении жидкости в трубе – диаметр трубы и т. д.

Число Рейнольдса определяет переход от ламинарного течения к турб у-

лентному. Обычно турбулентное течение возникает при                             R и-

е  > 103. При этом с

ла сопроти вления уже не зависит от вязкости. В этом случае обмен импульсами

между слоями происходит в результате активного «перемешивания» жидк о-

стей, а не в результате диффузии, как при ламинарном течении.

При больших                                       Rе сопротивление сильно            зависит от формы тела. Обтека                             е-

мую форму, уменьшающую сопротивление, придают многим движущимся

предметам: с амолетам, автомобилям, ракетам и т. д.