Интегрирование рациональных дробей
Стр 1 из 10Следующая ⇒ Основные свойства неопределённого интеграла Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла. Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на промежутке X, то Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов. Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка:
Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.
Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то: Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования. 56. Замена переменной в неопределенном интеграле
Пусть требуется найти интеграл
определенную на
то есть, вычисление исходного интеграла интеграла
Замечание 1. Часто целесообразно подобрать замену переменной не в виде
Рассмотрим два примера. Пример 1. Найти интеграл Решение. Положим
тогда На последнем шаге использовано равенство
Пример 2. Найти интеграл Решение. Положим
тогда
Ответ:
Замечание 2. Обратите внимание, что в примере 1 замена переменной выбрана в виде Отметим, что не существует одного общего правила для выбора подстановки, позволяющей вычислять интегралы. Существуют частные правила для некоторых типов интегралов. Дадим некоторые рекомендации. А) Если подынтегральная функция иррациональная, то подстановка выбирается так, чтобы замена переменной под знаком интеграла приводила к рациональной функции от новой переменной Б) Если подынтегральная функция есть дробно-рациональная функция от трансцендентной (например, от функции Замечание 3. Иногда при вычислении интеграла методом замены переменной выбор подстановки можно осуществить различными способами. При этом могут получаться ответы, отличающиеся друг от друга формально (т.е., по виду). В частности, отличающиеся видом константы. Рассмотрим такую ситуацию на примере 2. В интеграле Таким образом, Если сравним полученные результаты, то увидим, что слагаемые, зависящие от x совпадают, а произвольная константа в первом случае обозначенная через C, во втором случае имеет вид С+2. Из определения неопределенного интеграла следует, что эти ответы идентичны. Интегрирование по частям Рассмотрим функции Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим: Полученное равенство перепишем в виде: Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл
Замечание В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно. Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида: 1) Здесь
58. Классы интегрируемых функций Тип 2 тип
3 тип: смешанный тип Интегрирование рациональных дробей Определение. Рациональной дробью называется дробь вида многочлены степеней n и m соответственно.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|