Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. (без доказательства) СЛЕДСТВИЕ 1 Если корень многочлена , то , где - многочлен степени на единицу меньшей. ДОК. Разделим на с остатком: . Тогда . ТЕОРЕМА 3. (о разложении многочлена на множители) Если - многочлен с комплексными коэффициентами, то имеет место разложение . Если коэффициенты многочлена действительные, то имеет место разложение , где - действительные корни многочлена, коэффициенты - действительные коэффициенты неразложимых квадратных трехчленов , . ДОК. Первое утверждение вытекает из многократного применения теоремы 2 и следствия 1 к многочленам и т.д. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами, то - также корень многочлена: . Произведение = , где b, c – действительные числа. Если действительный корень многочлена кратности , а - комплексный корень кратности , то имеет место представление , где . ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью первого типа. ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью второго типа. ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью третьего типа. ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью четвертого типа.
62 Интегрирование рациональных функций
Для интегрирования рациональной функции , где P (x) и Q (x) - полиномы,
используется следующая последовательность шагов:
1. Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать
ее в правильную, выделив целое выражение;
2. Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых
квадратичных выражений;
3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя методнеопределенных коэффициентов;
4. Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим указанные шаги более подробно.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P (x) больше степени знаменателя Q (x)),
разделим многочлен P (x) на Q (x). Получим следующеел2 выражение:
где - правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя Q (x) в виде
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими
действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,... должно быть
равно степени знаменателя Q (x). Затем умножим обе части полученного уравнения на
знаменатель Q (x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x.
В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных
коэффициентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,.... Данная система всегда имеет единственное
решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной
дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
1.
2.
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где Затем применяются следующие формулы:
3.
4.
5.
Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
6. л
63. Метод рационализации подынтегрального выражения
Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные
функции. В дальнейшем будем стремиться отыскивать такие подстанл6овки
которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом
функция выражается через элементарные функции, то интеграл представится в
конечном виде и в функции от х.Назовем этот прием методом рационализации
подынтегрального выражения.
1) Интегралы вида ,
где R означает рациональную функцию от двух аргументов,
- постоянные.
Полагаем, .
Интеграл приводится к виду
здесь - рациональные функции.
Вычислив этот интеграл по правилам интегрирования рациональных функций,
вернемся к старой переменной, подставив
К интегралу вида (1) сводятся более общие интегралы
где показатели r, s,… - рациональны.
Нужно привести эти показатели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла
получить
рациональную функцию от х и радикала
2) Интегралы вида .
Такие интегралы сводятся к табличному, если в квадратном трехчлене выделить
полный квадрат.
3) Интегралы вида .
Для отыскания этого интеграла в числителе необходимо выделить такую линейную
функцию, которая равнялась бы производной квадратного трехчлена. Далее разбиваем
интеграл на сумму двух, один из которых табличный, а второй рассмотрен в
предыдущем пункте.
4) Интегралы вида
Эти интегралы приводятся к интегралу от рациональной функции нового переменного
с помощью следующих подстановок Эйлера.
I –я подстановка Эйлера. Если , то полагаем
.
Для определенности рассмотрим случай
. Тогда
то
- рациональная функция от t, dx также
выражается рационально через t.
II-я подстановка Эйлера. Если , то полагаем
.
Для определенности считаем, что перед стоит знак «+». Тогда
.
При этом dx и выражаются рационально через t, поэтому
сводится к интегралу рациональной функции зависящей от t.
Интегрирование биномиальных дифференциалов
Биномиальными называются дифференциалы вида где m,n,p –
рационалл6ьные числа, a,b - постоянные величины.
Рассмотрим интеграл . (1.5)
1) n - целое число. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной
функции от t, если положить , l - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.
2) - целое число, тогда рационализации подынтегрального выражения можно
достигнуть, используя замену , n - знаменатель дроби р.
3) - целое.
Замена , n - знаменатель дроби р, позволяет рационализировать
подынтегральную функцию в исходном интеграле.
Эти случаи интегрируемости были известны еще Ньютону. Однако, только в середине
прошлого столетия П.Л.Чебышев установил факт, что других случаев интегрируемости
в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет. Поэтому подстановки 1-3
называют подстановками Чебышева.Интегрирование некоторых выражений,
содержащих тригонометрические функции
1) Интегралы вида
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку
, , ,
С помощью указанной подстановки интеграл сводится к интегралу
от рациональной функции
.
2) Интегралы вида или .
а) приводится к с помощью подстановки
б) приводится к , если
3) Интегралы вида .
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх,
входящих в четных степенях, то применяется подстановка
в результате которой получим интеграл от рациональной функции:
4) Интегралы вида
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для
определенности n-нечетное.
Тогда полагаем
б) m и n - неотрицательные, четные числа. Полагаем ,
Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие как
в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x
интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем
по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов
слагаемые вида , которые легко интегрируются.
5) Интегралы вида .
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические
формулы:
Тогда
Аналогично вычисляются два других интеграла.
с комплексными коэффициентами
корень многочлена 
, то 
, где 
- многочлен степени на единицу меньшей.
с остатком: 
. Тогда 
.
- многочлен с комплексными коэффициентами, 
.
, где 
- действительные корни многочлена, коэффициенты 
- 
,
.
и т.д.
- корень многочлена 
с действительными коэффициентами, то 
- 
. Произведение 
=
, где b, c – действительные числа.
действительный корень многочлена кратности 
, а 
- комплексный корень кратности 
, то имеет место представление 
, где
.
называется простейшей дробью первого типа.
называется простейшей дробью второго типа.
называется простейшей дробью третьего типа.
называется простейшей дробью четвертого типа.
, где P (x) и Q (x) - полиномы,
используется следующая последовательность шагов:
1. Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать
ее в правильную, выделив целое выражение;
2. Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых
квадратичных выражений;
3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод
неопределенных коэффициентов;
4. Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим указанные шаги более подробно.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P (x) больше степени знаменателя Q (x)),
разделим многочлен P (x) на Q (x). Получим следующеел2 выражение:
где 
где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими
действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее число неопределенных коэффициентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,... должно быть
равно степени знаменателя Q (x). Затем умножим обе части полученного уравнения на
знаменатель Q (x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x.
В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных
коэффициентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,.... Данная система всегда имеет единственное
решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной
дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
1. 
2. 
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
где 
Затем применяются следующие формулы:
3. 
4. 
5. 
Интеграл 
может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
6. л 
которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом
функция 
выражается через элементарные функции, то интеграл представится в
конечном виде и в функции от х.Назовем этот прием методом рационализации
подынтегрального выражения.
1) Интегралы вида 
,
где R означает рациональную функцию от двух аргументов,
- постоянные.
Полагаем, 
.
Интеграл приводится к виду
здесь 
- рациональные функции.
Вычислив этот интеграл по правилам интегрирования рациональных функций,
вернемся к старой переменной, подставив 
К интегралу вида (1) сводятся более общие интегралы
где показатели r, s,… - рациональны.
Нужно привести эти показатели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла
получить
рациональную функцию от х и радикала 
2) Интегралы вида 
.
Такие интегралы сводятся к табличному, если в квадратном трехчлене выделить
полный квадрат.
3) Интегралы вида 
.
Для отыскания этого интеграла в числителе необходимо выделить такую линейную
функцию, которая равнялась бы производной квадратного трехчлена. Далее разбиваем
интеграл на сумму двух, один из которых табличный, а второй рассмотрен в
предыдущем пункте.
4) Интегралы вида 
Эти интегралы приводятся к интегралу от рациональной функции нового переменного
с помощью следующих подстановок Эйлера.
I –я подстановка Эйлера. Если 
, то полагаем
.
Для определенности рассмотрим случай
. Тогда
то
- рациональная функция от t, dx также
выражается рационально через t.
II-я подстановка Эйлера. Если 
, то полагаем
.
Для определенности считаем, что перед 
стоит знак «+». Тогда
.
При этом dx и 
выражаются рационально через t, поэтому
сводится к интегралу рациональной функции зависящей от t.
Интегрирование биномиальных дифференциалов
Биномиальными называются дифференциалы вида 
где m,n,p –
рационалл6ьные числа, a,b - постоянные величины.
Рассмотрим интеграл 
. (1.5)
1) n - целое число. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной
функции от t, если положить 
, l - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.
2) 
- целое число, тогда рационализации подынтегрального выражения можно
достигнуть, используя замену 
, n - знаменатель дроби р.
3) 
- целое.
Замена 
, n - знаменатель дроби р, позволяет рационализировать
подынтегральную функцию в исходном интеграле.
Эти случаи интегрируемости были известны еще Ньютону. Однако, только в середине
прошлого столетия П.Л.Чебышев установил факт, что других случаев интегрируемости
в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет. Поэтому подстановки 1-3
называют подстановками Чебышева.Интегрирование некоторых выражений,
содержащих тригонометрические функции
1) Интегралы вида 
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку
, 
, 
,
С помощью указанной подстановки интеграл 
.
2) Интегралы вида 
или 
.
а) 
с помощью подстановки 
б) 
, если 
3) Интегралы вида 
.
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх,
входящих в четных степенях, то применяется подстановка
в результате которой получим интеграл от рациональной функции:
4) Интегралы вида 
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для
определенности n-нечетное.
Тогда полагаем 
б) m и n - неотрицательные, четные числа. Полагаем 
, 
Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие 
как
в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x
интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем
по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов
слагаемые вида 
, которые легко интегрируются.
5) Интегралы вида 
.
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические
формулы:
Тогда
Аналогично вычисляются два других интеграла.
