 |
Построение модели временного ряда
|
|
|
|
Построение аддитивной модели сводится к расчету значений T, S
и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
· Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
· Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.
· Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда (T + E = У – S) в аддитивной модели.
· Шаг 4. Аналитическое выравнивание ряда с трендовой и случайной компонентами (T + E) с помощью уравнения тренда и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения.
· Шаг 5. Расчет уровней ряда, полученных по аддитивной модели (Т + S).
· Шаг 6 (верификация). Расчет коэффициента детерминации.
Реализуйте указанные шаги следующим образом:
Шаг 1. Выровняйте временной ряд методом скользящей средней.
На новый лист скопируйте ячейки А1:В17. Выделите полученную кривую нажатием левой кнопки мыши, затем на ней же нажмите правую кнопку мыши и выберите Добавить линию тренда. В диалоговом окне выделите тип линии Линейная фильтрация 4 точки. Нажмите кнопку ОК.
Полученная сглаженная линия (рисунок 21) больше близка к прямой, поэтому модель временного ряда имеет трендовую компоненту
в виде линейной функции.
|
|
Рисунок 21 – Линейная фильтрация
Найдите сглаженные значения временного ряда по формулам, приведенным на рисунке 22 в столбце С.
Рисунок 22 – Формулы расчета скользящего среднего, центрированной
скользящей средней, оценки сезонной компоненты
Шаг 2. Рассчитайте оценки сезонной компоненты по схеме, представленной на рисунке 23.
Рисунок 23 – Схема расчета скользящей средней
Получите скользящее среднее следующим образом:
|
|
|
· найдите среднее значение первых четырех уровней ряда;
· найдите среднее значение уровней со второго по пятый и т. д. (на схеме рисунка 23 уровни ряда изображены кружками, скользящие средние уровней – квадратами) по формулам, приведенным на рисунке 22 в столбце С.
Поскольку скользящее среднее не соответствует никакому уровню ряда, получите центрированное скользящее среднее: найдите средние значения попарно скользящих средних (центрированное скользящее среднее на схеме рисунка 23 изображено ромбом) по формулам, приведенным на рисунке 22 в столбце D.
Найдите оценки сезонной компоненты, для этого из уровня ряда надо вычесть соответствующее центрированное скользящее среднее (на схеме рисунка 23 из кружка вычесть ромб) по формулам, приведенным на рисунке 22 в столбце E.
Результат вычислений приведен на рисунке 24.
Рисунок 24 – Оценка сезонной компоненты
Используйте оценки сезонной компоненты для расчета значений сезонной компоненты S (см. рисунок 24, столбец Е). Для этого найдите средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S i (рисунок 25).
Рисунок 25 – Оценка сезонной компоненты
Результат вычислений приведен на рисунке 26.
Рисунок 26 – Средние значения сезонной компоненты по кварталам
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Для данной модели сумма равна 0,075 (см. рисунок 26).
Определите корректирующий коэффициент k = 0,01875 (рисун-
ки 27, 28).
Рисунок 27 – Расчет с корректированных значений
сезонной компоненты по кварталам
Рисунок 28 – Результаты расчета с корректированных значений
сезонной компоненты по кварталам
|
|
|
Рассчитайте скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k (см. рисунки 27, 28, столбцы Н).
Условие равенства нулю суммы значений скорректированной сезонной компоненты выполняется (см. рисунок 28, столбец Н, ячейка Н6).
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
· I квартал: S 1 = 0,581;
· II квартал: S 2 = –1,977;
· III квартал: S 3 = –1,294;
· IV квартал: S 4 = 2,690.
Шаг 3. Устраните влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда: Т + Е = У – S (рисунок 29, столбец М). Полученные значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Рисунок 29 – Расчет значений уровней временного ряда
по аддитивной модели и ее верификация
Шаг 4. Определите трендовую компоненту T аддитивной модели временного ряда. Для этого проведите аналитическое выравнивание полученного на втором шаге ряда T + E с помощью линейного тренда (см. тему 1). Поместите регрессию на лист Регрессия тренда. Результаты аналитического выравнивания представлены на рисунке 30.
Рисунок 30 – Результаты аналитического выравнивания тренда
временного ряда
Таким образом, трендовая компонента временного ряда потребления электроэнергии описывается следующим линейным уравнением:
T = 5,715 + 0,186 ∙ t.
Трендовая компонента каждого уровня ряда находится на листе Регрессия тренда среди предсказанных по уравнению тренда значений (рисунок 31).
Рисунок 31 – Предсказанное по уравнению тренда потребление электроэнергии
Скопируйте предсказанные значения тренда на лист «Шаги» в столбец N.
График уравнения тренда приведен на рисунке 32.
|
Условные обозначения:
– потребление электроэнергии, yt;
– потребление электроэнергии, тренд Т и сезонность S (T + S);
– потребление электроэнергии, тренд Т
Рисунок 32 – Потребление электроэнергии жителями региона
Шаг 5. Найдите значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для каждого уровня прибавьте к тренду T (столбец N) значение соответствующей сезонной компоненты (столбец L) (см. рисунок 29, столбец O).
Графически значения (T + S) представлены на рисунке 32. Значения аддитивной модели достаточно близки к наблюдаемым уровням временного ряда.
|
|
|
Шаг 6 (верификация модели). Рассчитайте отклонения как разность исходных значений уровней ряда (столбец K) и значений, полученных по аддитивной модели (столбец O) (см. рисунок 29, столбец P).
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели, а также для выбора наилучшей модели можно использовать коэффициент детерминации.
Найдите отклонения уровней от их среднего значения (см. рисунок 29, столбец Q). Рассчитайте R-квадрат по формулам, приведенным на рисунке 33.
Рисунок 33 – Верификация аддитивной модели временного ряда
потребления электроэнергии жителями региона
Таким образом, аддитивная модель объясняет 98,4% (см. рисунок 30) общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Выявление сезонного эффекта производится в анализе структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.
Прогнозирование
Предположим, требуется дать прогноз потребления электроэнергии жителями региона в течение первого полугодия ближайшего следующего года.
Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели – это сумма трендовой и сезонной компонент.
Объем электроэнергии, потребленной в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. пятого, года, рассчитывается как сумма объемов потребления электроэнергии в I и II кварталах пятого года (обозначение соответственно У17 и У18).
На листе «Регрессия тренда» выполните следующие действия (рисунок 34):
· рассчитайте трендовые компоненты Т17, Т18, используя уравнение тренда T = 5,715 + 0,186 ∙ t;
· скопируйте значения сезонной компоненты для первого и второго кварталов на листе «Шаги»;
· суммируйте трендовую и сезонную компоненты для прогноза потребления электроэнергии в первом и втором кварталах;
· суммируйте потребление электроэнергии в обоих кварталах.
Рисунок 34 – Формулы расчета прогноза потребления электроэнергии
|
|
|
Таким образом, прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит 16,56 млн кВт×ч (рисунок 35).
Рисунок 35 – Прогноз потребления электроэнергии
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое временной ряд?
2. Каковы основные компоненты временного ряда?
3. Каковы цели исследования временных рядов?
4. Для чего используется автокорреляционная функция?
5. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции третьего порядка?
6. Что такое коррелограмма?
7. Как осуществляется выбор вида мультипликативной и аддитивной моделей временного ряда?
8. Как выделить сезонную составляющую временного ряда?
9. Для чего необходимо сглаживать временной ряд?
10. Каковы методы сглаживания временного ряда?
11. Какие функции используются для аналитического выравнивания временного ряда?
12. Как осуществить прогноз по аддитивной или мультипликативной модели временного ряда?
Индивидуальное задание
Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов, представленные в таблице 25 (в каждом варианте к объему потребления надо прибавить число 0,2 × k, где k – порядковый номер студента в журнале группы).
Выполните следующее:
· проанализируйте структуру временного ряда, проверьте гипотезу о структурной стабильности ряда;
· проведите аналитическое выравнивание временного ряда;
· сделайте прогноз на второе полугодие следующего года;
· оформите отчет.
V. ЗАВИСИМОСТЬ ПЕРЕМЕННЫХ, ЗАДАННЫХ
ВРЕМЕННЫМИ РЯДАМИ
Постановка задачи
Постройте модель зависимости фактора Y от фактора X по данным наблюдений за 22 месяца, предполагая, что на причинно-следствен-
ную связь между ними влияет ложная корреляция, вызванная наличием тренда в каждом из временных рядов факторов (таблица 26). Сделайте прогноз значения Y для X = 15.
Таблица 26 – Данные наблюдений
| Месяц | Фактор X | Фактор Y | Месяц | Фактор X | Фактор Y |
| 9,098 | 5,490 | 11,305 | 5,905 | ||
| 9,137 | 5,540 | 11,430 | 6,125 | ||
| 9,095 | 5,305 | 11,450 | 6,185 | ||
| 9,280 | 5,505 | 11,697 | 6,225 | ||
| 9,230 | 5,420 | 11,870 | 6,495 | ||
| 9,348 | 5,320 | 12,018 | 6,720 | ||
| 9,525 | 5,540 | 12,525 | 6,920 | ||
| 9,755 | 5,690 | 12,055 | 6,470 | ||
| 10,280 | 5,870 | 12,088 | 6,395 | ||
| 10,665 | 6,157 | 12,215 | 6,555 | ||
| 11,020 | 6,342 | 12,495 | 6,755 |
Технология вычислений в MS Excel
взаимосвязи двух временных рядов
Ввод данных. В ячейку А1 введите название первого столбца «Месяц», в ячейку В1 – название второго столбца «Фактор X», в ячейку С1 – название третьего столбца «Фактор Y». В ячейки А2, А3,…, А23 введите данные первого столбца исходной таблицы, в ячейки В2,В3, …, В23 – второго столбца, в ячейки С2, С3,…, С23 – третьего.
|
|
|
Дайте название рабочему листу «Предварительный анализ рядов». Сохраните рабочую книгу под названием «Зависимость переменных, заданных временными рядами».
|
|
|
