Угловая скорость. Угловое ускорение.
Стр 1 из 8Следующая ⇒ Пространство и время. Система отсчета
Механическое движение происходит в пространстве и времени. Положение тела в пространстве может быть определено только по отношению к другим телам. Для описания механического движения необходимо указать тело (или систему неподвижных друг относительно друга тел), относительно которого рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.
Тело отсчета, связанные с ним система координат и часы образуют систему отсчета. Пространственно-временное описание движения возможно только тогда, когда выбрана определенная система отсчета. В классической механике пространству и времени приписывают абсолютный характер, линейные масштабы и промежутки времени остаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. не зависят от выбора системы отсчета. В релятивистской механике линейные масштабы и промежутки времени зависят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета будут разными. Материальная точка. Абсолютно твердое тело
При изучении реальных движений тел часто бывает целесообразно абстрагироваться от их размеров. В этих случаях говорят о движении материальной точки.
Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Материальной точкой считают, например, Землю при рассмотрении ее движения вокруг Солнца. Любое тело можно считать совокупностью (системой) материальных точек. Абсолютно твердое тело — система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется в процессе движения.
Рене Декарт (1596—1650) — французский философ, физик, математик, физиолог. Физические исследования относятся главным образом к механике, оптике, строению Вселенной. Декарт математически вывел закон преломления света, дал теорию магнетизма. В математике первым ввел понятие переменной величины и функции, заложил основы аналитической геометрии.
Любое движение твердого тела можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений. Движение тела называют поступательным, если любая прямая, соединяющая две любые его тонки, остается все время параллельной самой себе. При вращательном движении твердого тела все его тонки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой — оси вращения.
Скорость и ускорение
Траектория. Уравнение движения точки.
Положение материальной точки А в декартовой системе координат определяется тремя координатами: х, у, z. Иначе: положение точки может быть задано радиусом-вектором r, проведенным из начала системы координат до точки А (рис. 1.1). При движении материальной точки А конец радиуса-вектора описывает в пространстве некоторую линию, называемую траекторией. При движении точки ее радиус-вектор в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени:
r = r (t) (1.1а)
Векторному уравнению (1.1а) эквивалентна система скалярных уравнений:
x = x(t), y =y(t), z = z(t) (1.1б)
Уравнения (1.1а) или соответственно (1.16) называют уравнениями движения материальной точки.
Исключая время из уравнений движения, получим уравнение траектории движения материальной точки. По форме траектории механическое движение классифицируется на прямолинейное и криволинейное. Траектория данного механического движения в различных системах отсчета может иметь разную форму.
Скорость. Ускорение
Рассмотрим движение материальной точки на участке криволинейной траектории (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Перемещение точки от А до В за промежуток времени ∆ t изображается вектором ∆r. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за промежуток времени ∆ t, называется длиной пути ∆s и является скалярной функцией времени.
На участке траектории АВ вектор средней скорости равен вдоль хорды АВ в ту же сторону, что и вектор перемещения ∆r (рис. 1.3). Скорость в точке А (мгновенная скорость).
При ∆ t →0 хорда АВ в пределе совпадает с касательной, поэтому вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 1.3). Так как модуль вектора ∆r равен длине ds малого участка траектории (пути ds), то
т.е. модуль скорости равен первой производной пути по времени. v Единица скорости —-метр в секунду (м/с). Скорость движения может изменяться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения а. Изменение скорости на участке АВ траектории за время ∆ t равно ∆v = v - v, где v — скорость в точке A, v1 — скорость в точке В. Среднее ускорение — отношение изменения скорости ∆ν к промежутку времени ∆t, в течение которого произошло это изменение:
Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости. Выражение для ускорения в точке А (мгновенного ускорения) можно получить как предел вектора (а) при ∆ t →0:
Ускорение — векторная величина, равная первой производной скорости по времени. v Единица ускорения — метр на секунду в квадрате (м/с2). Вектор ∆v можно разложить на две составляющие: ∆
Полное ускорение а имеет две взаимно перпендикулярные составляющие: Тангенциальное ускорение Модуль тангенциального ускорения равен производной модуля скорости по времени:
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и совпадает с нормалью к траектории к центру ее кривизны. Расчеты показывают, что модуль нормального ускорения
[ R – радиус кривизны траектории]
Угловая скорость. Угловое ускорение.
При вращательном движении твердого тела его точки, находящиеся на разном расстоянии r от оси вращения, за равные промежутки времени проходят разные пути. Следовательно, они имеют разную скорость и ускорение (рис. 1.6). Пусть радиус окружности, описываемой некоторой точкой, равен r, а ее линейное перемещение — ds. Тогда угловое перемещение
Кинематическими характеристиками вращательного движения кроме угла поворота являются угловая скорость со и угловое ускорение Если за промежуток времени ∆r тело поворачивается на угол Угловая скорость равна первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:
Вектор Если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора Если Время одного полного поворота тела вокруг оси вращения называют периодом обращения Т, а величину v, обратную периоду, — частотой:
За один период угол поворота радиуса-вектора точки равен
v Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с). Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением. Если за промежуток времени Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:
Угловое ускорение также является векторной величиной. При ускоренном вращении v Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате (рад/с2). Если угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение в данный момент времени. Линейные характеристики — перемещение, скорость, ускорение — различны для разных точек твердого тела. Связь между линейными и угловыми характеристиками движущейся точки можно получить, используя равенство (1.6). Дифференцируя это равенство по времени, получаем
Дифференцируя равенство (1.6) по времени дважды, получаем соотношение между тангенциальным и угловым ускорениями:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|