Работа переменной силы. Мощность

 

Работа

 

Формы движения материи весьма разнообразны, например механи­ческое перемещение, тепловое движение частиц вещества; ядерные и другие процессы. Универсальной количественной мерой различных форм движения материи является энергия.

В соответствии с различными формами движения материи говорят о разных видах энергии — механической, внутренней, ядерной и др. В процессе взаимодействия тел формы движения материи могут изменять­ся, например при трении тела нагреваются, при этом изменяется и вид энергии, т. е. механическая энергия переходит во внутреннюю. Измене­ние вида энергии обусловлено действием на тело сил и связано с совер­шением работы.

Работа, совершаемая постоянной силой F при перемещении тела М на прямолинейном участке пути s, равна (рис. 1.10)

 

 

[ F_s – проекция силы на направление перемещения; a – угол между векторами силы F и перемещения s ].

Работа – скалярная величина. Если то работу считают положительной (A>0); если то работа отрицательная (A<0). Если то А=0, т.е. сила, действующая перпендикулярно перемещению тела (F_н), работу не производит

v Единица работы – Джоуль (Дж)

 

;

 

В общем случае на тело может действовать внешняя переменная си­ла, изменяющаяся как по модулю, так и по направлению. Тело под дейст­вием переменной силы перемещается по некоторой траектории. Рассмот­рим элементарное перемещение ds, на котором действующую силу F считаем постоянной. Действие силы F на перемещении ds характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fds, которое называют элементарной работой силы F на перемещении ds:

 

 

[ a – угол между векторами силы и перемещения].

Интегрируя выражение (1.29) в пределах перемещения от s₁ до s₂ находим работу силы на заданном участке пути:

 

;

 

На рис. 1.11 представлен график зависимости F_s как функции пере­мещения тела вдоль траектории, из которого видно, что элементарная работа численно равна площади заштрихованной фигуры. При этом работа положительна, если площадь фигуры берется над осью s.

Консервативная (потенциальная) сила — сила, работа которой определяется толь­ко начальным и конечным положениями тела и не зависит от формы пути. Кон­сервативными являются силы тяготения, силы упругости. Все центральные силы консервативны. Примером неконсервативных сил являются силы трения.

 

Работа квазиупругой силы

 

Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой или квазиупругой силы F = -кх, где к — упругость; х — смещение тела, на которое действует упругая сила F относительно поло­жения равновесия (х = 0).

Переместим тело, на которое действует упругая сила F_s, та точки, имеющей координату х₁ в точку, имеющую координату х₂. Вычислим элементарную работу силы F на элементарном перемещении dx:

 

;

 

Определим работу этой силы на всем пути, т.е. проинтегрируем это выражение в пределах от x₁ до x₂;

 

(1.31)

 

Мощность

 

Величина, характеризующая скорость выполнения работы, называ­ется мощностью, т.е. это работа, совершаемая силой за единицу времени:

 

(1.32)

 

Мощность можно выразить через силу, которая совершает работу. Исходя из уравнения (1.29), имеем

 

(1.33)

 

 

Единица мощности – ватт (Вт):

 

;

 

 

Потенциальная и кинетическая энергия

 

В механике различают два типа энергии: потенциальную и кинетическую.

 

Потенциальная энергия

 

Потенциальной энергией называют часть энергии механической системы, зависящую от ее конфигурации, т. е. от взаимного расположе­ния частиц системы и их положения во внешнем силовом поле.

В качестве примера можно привести энергию поднятого над землей тела, энергию сжатой пружины. И поднятое тело, и сжатая пружина мо­гут произвести работу.

При падении тела массой т, поднятого на высоту h, сила тяжести со­вершает работу, величина которой зависит от начального и конечного положений тела, т. е. высоты h, и равна mgh. Следовательно, тело, подня­тое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, равной той работе, которую совершает сила тяжести, когда тело достигает конечного положения:

 

(1.34)

 

v Единица энергии – джоуль (Дж).

Потенциальной энергией кроме тел, поднятых над Землей, обладают упругие тела, подвергшиеся деформации (упругой деформации). Так, на­пример, выше мы подсчитали работу упругих сил (1.31). Очевидно, упру­гая пружина, растянутая на длину x, обладает потенциальной энергией

 

(1.35)

 

Из формул (1.34) и (1.35) следует, что работа силы тяжести и упру­гих сил не зависит от пути, а зависит от начального и конечного положе­ний тела; следовательно, сила тяжести и упругая сила — потенциальные или консервативные. Работа потенциальных сил равна убыли потенци­альной энергии системы:

 

(1.36)

 

Кинетическая энергия

 

Кинетической энергией называют энергию, зависящую от скорос­ти движения тела.

Всякое движущееся тело может производить работу. Кинетическая энергия определяется работой, которую может совершать тело вследст­вие того, что оно обладает определенной скоростью.

Для того чтобы найти кинетическую энергию, которой обладает движущееся тело, определим работу, которую это тело может произве­сти. Пусть тело массой т движется прямолинейно и находится под дей­ствием силы F, тормозящей его движение. Согласно второму закону Ньютона,

 

 

Элементарная работа, совершаемая движущимся телом против силы F на пути dx, равна

 

 

Если скорость тела уменьшается от v₁ до v₂, то

 

 

или

 

(1.37)

 

т. е. работа равна убыли кинетической энергии тела, так как работа со­вершается против внешних сил. Если внешние силы, действуя на тело, совершают работу, то кинетическая энергия тела возрастает. Значит, ки­нетическая энергия тела, движущегося со скоростью v, равна

 

(1.38)

 

При изменении скорости тела на dv кинетическая энергия изменится на

 

 

Закон сохранения энергии

 

Рассмотрим, как изменяются кинетическая и потенциальная энергии изолированной системы, т. е. такой системы, на которую не действуют внешние силы, включая и силы трения, или сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Уравнение движения для каждого тела системы имеет вид

 

, , …,

 

[F₁, F₂,..., F_i – суммарные внутренние силы, действующие на каждое тело системы]

Если все тела за промежуток времени dt совершает перемещение ds₁, ds₂…, ds_i, то, умножая скалярно каждое уравнение на соответствующее перемещение и учитывая, что

 

, , …,

 

а затем складывая все уравнения получим

 

 

или

 

 

т.е.

 

 

Изменение кинетической энергии равно работе сил. Если силы кон­сервативные, то эта работа равна убыли потенциальной энергии системы:

 

 

Следовательно,

 

 

или

 

(1.39)

 

Для консервативных систем, в которых не происходит преобра­зование механической энергии в другие формы (нет трений и других сил, зависящих от скорости), полная энергия системы при ее движе­нии остается неизменной (закон сохранения механической энергии).

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: