Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Линеаризация нелинейных зависимостей




Описанный выше графический способ, а также полученные методом наименьших квадратов формулы (7.10)-(7.12) для расчета коэффициентов в ряде случаев могут быть использованы и при обработке нелинейных зависимостей. В первую очередь это относится к зависимостям, описываемым степенными и показательными (экспоненциальными) функциями. Для их линеаризации (приведения к линейному виду) применяется операция логарифмирования.

Степенная зависимость. Пусть измеряемые величины Х и Y теоретически связаны зависимостью вида

,

где С и k – неизвестные коэффициенты. Логарифмируя данное выражение, получим

Приняв обозначения

придем к зависимости вида (7.2). После определения коэффициентов K и b одним из описанных выше способов, найдем параметры исходной зависимости:

Экспоненциальная зависимость. Многие физические явления и процессы (движение тела в вязкой среде, затухающие колебания, радиоактивный распад, поглощение излучения веществом и др.) описываются дифференциальными уравнениями, решение которых приводит к экспоненциальной (показательной) зависимости между физическими величинами х и Y

. (7.13)

Если коэффициенты и K неизвестны, но имеется экспериментально полученная зависимость Y (x), то для определения С и K ее приводят к линейному виду путем логарифмирования:

.

Положив , опять придем к зависимости вида (7.2), коэффициенты которой K и b можно найти как графическим способом, так и методом наименьших квадратов. После этого предэкспоненциальный множитель, т.е. коэффициент С исходной зависимости (7.13), определится как

С = ехр(b).

Пример 2. Зависимость сопротивления R полупроводника от его абсолютной температуры Т (лабораторная работа № 80) имеет вид

, (7.14)

где R 0 – константа, характеризующая сопротивление данного полупроводника при 0o C; D E – энергия активации; k – постоянная Больцмана. Путем замены переменных

и введения обозначений

,

после логарифмирования выражения (7.14) придем к линейной зависимости (7.2). Измеряя сопротивление R при различной температуре Т, одним из описанных выше способов можно найти коэффициенты K и b, а затем перейти к параметрам исходной зависимости:

.

Пример 3. При изучении явления термоэлектронной эмиссии с помощью вакуумного (лампового) диода получена зависимость плотности тока насыщения j н от температуры катода Т. Теоретически связь между этими величинами устанавливает закон Ричардсона-Дэшмена

, (7.15)

где С – постоянный множитель; е – элементарный заряд; j – потенциал выхода; k – постоянная Больцмана.

Для линеаризации выражения (7.15) разделим обе его части на Т 2 и прологарифмируем, в результате чего получим линейную зависимость вида (7.2) с переменными

и коэффициентами

.

После определения коэффициентов K и b неизвестные параметры исходной зависимости (7.15) можно найти как

.

Пример 4. При изучении затухающих колебаний снималась зависимость их амплитуды А от числа колебаний N. Теоретически эти величины связаны экспоненциальным законом

, (7.16)

где А 0 – начальная амплитуда; l – логарифмический декремент затухания. Для определения неизвестных параметров А 0 и l зависимости (7.16) линеаризуем последнюю по аналогии с (7.13), логарифмируя ее

и вводя обозначения

.

Коэффициенты K и b линеаризованной зависимости будем искать методом наименьших квадратов. Составим таблицу по образцу табл. 9; занесем в нее результаты измерений и соответствующих вычислений. Затем проведем расчеты по формулам (7.10)-(7.12), учитывая принятые обозначения:

 

Таблица 10

 

Номер опыта N A, мм ln A N 2 N ×ln A
      3,784   37,84
      3,219   64,38
      2,773   83,19
      2,303   92,12
S =     12,079   277,53

Параметры исходной зависимости (7.16):

На рис. 14 для наглядности изображены графики исходной (а) и линеаризованной (б) зависимостей амплитуды от числа колебаний. Кружками на графиках обозначены экспериментальные данные, сплошными линиями – результаты расчетов по найденным значениям параметров А 0 и l.

 

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...