Определение внутренних усилий при изгибе

1 случай

Σ F _y =0       Q _y = 0;

Σ M _y = 0  M _x = M _o.

2 случай

Σ F _y = 0       Q _y = F;

Σ M _y = 0     M _x = - F ∙ z.

Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.

Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два - изгибающий момент M _x и поперечная сила Q_y. При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.

Чистый изгиб - плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно - изгибающий момент (см. первый случай).

Поперечный изгиб - изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутрен­него изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).

Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь. При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков: поперечная сила Q_y считается положительной, если она стре­мится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке; изгибающий момент M _x считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние - растянутыми (правило зонта).

Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану:

1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем неизвестные реакции опор (отме­тим, что для

2) консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматри­вать балку со свободного конца);

· на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или раз­меров балки, точки закрепления балки;

· на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.

5.2. Дифференциальные зависимости при изгибе

Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M, знание которых облегчит по­строение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M = M _x, Q = Q_y.

 Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии под дейст­вием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в об­щем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Q и Q+dQ, а также изгибающие моменты M и M+dM. Из ус­ловия равновесия выделенного элемента получим:

Первое из двух записанных уравнений дает условие

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q∙dz∙(dz/2) как бесконечно ма­лой величиной второго порядка, найдем

Рассматривая выражения (5.1) и (5.2) совместно можем получить

Соотношения (5.1), (5.2) и (5.3) называют дифференциальными зависи­мостями Д. И. Журавского при изгибе.

Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе по­зволяет установить некоторые правила построения эпюр изги­бающих моментов и поперечных сил:

а - на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M - наклонными прямыми;

б - на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M - квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость параболы будет направлена по направлению действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию;

в - в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М - пе­регибы, острием направленные в направлении действия этой силы;

г - в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М - скачки на величину этого момента;

д - на участках, где Q > 0, момент М возрастает, а на участках, где Q < 0, мо­мент М убывает (см. рисунки а-г).

5.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем фор­мулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависи­мость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же ре­шать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

а - гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) - сечения плоские до деформации остаются пло­скими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от ней­тральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

б - гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

в - гипотеза об отсутствии боковых давлений - со­седние продольные волокна не давят друг на друга.

5.4. Статическая сторона задачи

Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях балки, рассмотрим, прежде всего, статическую сторону задачи. Применяя метод мысленных се­чений и составляя уравнения равновесия для отсеченной части балки, найдем внутренние усилия при изгибе. Как было показано ранее, единственным внутренним усили­ем, действующим в сечении бруса при чистом изгибе, является внутренний изгибающий момент, а значит здесь возникнут связанные с ним нормальные напряжения.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сече­нии балки найдем из рассмотрения напряжений на элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении A балки в точке с координатами у и x (ось y для удобства анализа направлена вниз):

 

                  (5.4)

Как видим, задача является внутренне статически неопределимой, так как неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

5.5. Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной d z, выделенного из изги­баемого стержня в произвольной точке с координатой х. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернуться относительно нейтральной оси (н. о.) на угол dty, при этом волокно ab, отстоящее от нейтральной оси на расстояние у, пре­вратится в дугу окружности a₁b₁, а его длина изменится на некоторую величи­ну. Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется, а потому дуга a₀b₀ (радиус кривиз­ны которой обозначим р) имеет ту же длину, что и отрезок a₀b₀ до деформации a₀b₀ = dz.

Найдем относительную линейную деформацию ε _zволокна ab изогнутой балки:

5.6. Физическая сторона задачи

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, G_y = G_x =0, запишем закон Гука для изгиба в виде

σ_z = E ∙ ε_z. (5.6)

 

5.7. Математическая сторона задачи

Из формулы (5.6) с учетом (5.5), получим закон распределения нормальных напряжений по сечению балки:

Подставляя (5.7) в каждое из уравнений (6.4), имеем следующие соотношения:

       (5.8)       

Из анализа первого и второго полученных выражений следует, что оси у и z являются главными центральными осями сечения, а нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Из последнего равенства получим формулу для определения кривизны бруса (1/ρ) при изгибе

подставляя которую в выражение (8.7), получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экс­тремальных значений на поверхности балки, при y =| y | _max.

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

где W _x - осевой момент сопротивления

Таким образом, в случае изгиба условие проч­ности по нормальным напряжениям может быть записано в следующем виде (для материа­ла балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):

 (5.11)

5.8. Касательные напряжения при поперечном изгибе прямого бруса

При плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий момент M и поперечная сила Q, возникают не только нормальные σ, но и касательные на­пряжения τ.

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчиты­ваются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

Далее получим зависимости для определения касательных напряжений τ в случае поперечного изгиба балки.

При выводе формулы примем некоторые гипотезы, которые сделают данную задачу статически определимой:

1) касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

2)  касательные напряжения всюду параллельны силе Q.

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы F. Построим эпюры внутренних усилий O _y и M _x.

На расстоянии х от свободного конца балки выделим эле­ментарный участок балки abcd длиной dx и шириной, равной ширине балки b. Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q_y и изгибающий момент M _x, а на грани ab - также поперечная сила Q_y и изгибаю щи й момент M _x + dM (так как Q_y остается постоянной по длине балки, а момент M _x изменяется, см. эпюру).

На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d, покажем на­пряжения, действующие по граням по­лученного элемента mbcn, и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего мо­мента M _x возникают нормальные напря­жения  и  , причем

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Q_y возникают каса­тельные напряжения τ, такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn, проецируя равнодействую­щие рассмотренных напряжений на ось х:

 

         (5.12)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой ни что иное, как статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси z, поэтому можем записать

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе:

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе τ можем переписать следующим образом (формула Журавского)

Проанализируем формулу Журавского (6.12).

Здесь Q = Q_y - поперечная сила в рассматриваемом сечении; J _x - осевой момент инерции сечения относительно оси x; b - ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения; S ' _x - статический момент относительно оси x части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение τ:

здесь y ' _c и А - координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.

 

5.9. Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий (M_x, Q_y) по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

1. сечение, в котором изгибающий момент M _x достигает своего максималь­ного по модулю значения, - именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;

2. сечение, в котором поперечная сила Q_y достигает своего максимального по модулю значения;

3. сечение, в котором и изгибающий момент M _x и поперечная сила Q_y достигают по модулю достаточно больших величин

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

1)  точка, в которой нормальные напряжения σ _x достигают своего максимального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

2)  точка, в которой касательные напряжения τ _max достигают своего максимального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

3)  точка, в которой и нормальные напряжения σ _x и касательные напряже­ния τ _x, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значе­ние).

Лекция № 6

ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ. ПРИВЕДЁННЫЕ (ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ) НАПРЯЖЕНИЯ. РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ЦИКЛИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ. ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ. КОЭФФИЦИЕНТ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЁННОМ СОСТОЯНИИ.

При прочностных расчетах используют следующие теории

1. Теория наибольших нормальных напряжений.

2. Теория наибольших деформаций.

3. Теория наибольших касательных напряжений.

4. Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения.

5. Теория Мора, или теория предельных напряжённых состояний.

Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.

6.1. Общие положения теории прочности

В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала — переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а для хрупких — такое, при котором начинается разрушение материала.

При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (σ_т — для пластических материалов и σ_в — для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала зависит не только от величия главных напряжений, но и от соотношений между ними.

Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.

Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:

σ_пр ≤ [R], или σ_пр ≤ [σ]

где σ_пр — расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.

Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в зависимости от принимаемых гипотез.

 

6.2. Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений.

Теория наибольших нормальных напряжений — основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

σ_пр^I ≤ σ₁ или σ_пр^I ≤ | σ₃ |

при плоском напряженном состоянии:

Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.

 

6.3. Вторая теория прочности

Вторая теория прочности — теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.

В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

при плоском напряженном состоянии:

Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σ_макс, во второй — с ε_макс). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.

 

6.4. Третья теория прочности

Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжении. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния — сложное и линейное — эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведённые напряжения при объемном напряженном состоянии:

При плоском напряженном состоянии

Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

6.5. Четвертая теория прочности — энергетическая.

Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

или в частном случае при σ_y = 0, полагая σ_x = σ, τ_xy = τ

Для частного случая чистого сдвига (σ=0):

Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле:

и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны .

 

Теория прочности Мора в отличие от изложенных не содержит критериальной гипотезы и состоит в установлении определенной зависимости прочностных свойств материала от вида его напряженного состояния. За характеристики напряженного состояния в общем случае принимается наибольшее касательное напряжение и нормальное, действующее на той площадке, на которой действует это касательное. Условие наступления текучести определяется огибающей больших кругов напряжений (кругов Мора) для предельных напряженных состояний. При этом влияние среднего напряжения σ₂ не учитывается. Текучесть наступает тогда, когда большой круг напряжений для рассматриваемого напряженного состояния коснется этой огибающей.

Приведенные напряжения для материалов с одинаковым пределом текучести при растяжении и сжатии в случае объемного напряженного состояния записываются так:

при плоском напряженном состоянии:

где  при текучести и  при разрушении.

Для хрупких материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию условие разрушения определяется по теории Мора огибающей предельных кругов напряжений, соответствующих разрушению (рис. б). В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

при плоском напряженном состоянии:

 

где  при текучести и при разрушении.
a и b определяются по кругам Мора.

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:

σ_пр ≤ [σ]

Теория прочности Мора является наиболее полной, точной из наиболее известных теорий прочности в сопротивлении материалов. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Её иногда называют V теорий прочности

 

Предыдущая12345678910111213Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: