Элементы общей теории множеств

2.1.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

И стоки теории множеств и логики уходят в класси­ческую древность, к отцу логики Аристотелю, а ос­новные идеи современной математической логики сформулированы Г. В. Лейбницем.

В России теория множеств и математическая ло­гика имеют давние замечательные традиции, свя­занные с именами Н. Н. Лузина, М. Я. Суслина, П. С. Урысона, Л. В. Келдыша, И. И. Жегалкина, В. И. Гливенко, М. И. Шейнфинкеля, Л. II. Колмого­рова, П. С. Александрова, А. А. Маркова, Д. А. Богвара. Приобрели мировую известность теория мно­жеств, математическая логика и алгебра академика А. И. Мальцева (1909-1967), заложившие основы новых направлений исследования на стыке алгебры и логики.

 

КАК ВОЗНИКЛИ ФОРМАЛЬНАЯ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Математика — наука доказательная. Истинность ее утверждений устанавливается не на основании наблюдений или результатов опыта, а логически выводится из небольшого числа исходных утвержде­ний — аксиом. Такой вывод называется доказатель­ством. Наблюдения используют описательные (де­скриптивные) науки: астрономия, география, геоло­гия, ботаника, зоология. Эксперимент используют экспериментальные науки: физика, химия, отчасти биология. Для дедуктивных наук: математики, логики, теорети­ческой механики и т. д. характерны рассуждения, а главным ме­тодом является вывод следствий из небольшого числа исходных положений (они могут строиться на наблюдениях и опытах). Так, геометрия базируется на аксиомах Евклида. Закономерности, изу­чаемые в теоретической механике, следуют из законов Ньютона, основанных, в свою очередь, на наблюдениях Кеплера, Тихо Бра­ге и опытах Галилея.

Формальная логика возникла около 2500 лет назад в Древней Греции, ее основатель — Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Вслед за Аристотелем, спустя 2000 лет, немецкий ученый Готфрид Виль­гельм Лейбниц (1646-1716) предложил детальную программу ло­гических исследований методами математики. Если введенные Лейбницем и Ньютоном понятия производной, первообразной и интеграла сразу же получили развитие в математике, физике и астрономии, то логические изыскания Лейбница оставались не­известными до конца XIX века, когда они были найдены в его ар­хиве и опубликованы французским математиком Л. Кутюре.

Отцом математической логики по праву считается английский математик и логик Джордж Буль (1815-1864). Его труды «Мате­матический анализ логики», «Исчисления логики», «Исследова­ние законов мысли» были опубликованы в конце 1940-х — начале 1950-х годов.

Русский ученый П. С. Порецкий (1846-1907), преподававший в Казанском университете, создал оригинальный метод логическо­го исчисления.

 

2.2.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Множество является одним из основных понятий математи­ки. Оно вводит в рассмотрение новый объект, отличный от исход­ных, обладающих рядом специфических свойств. Для отношения принадлежности пользуются символом .

Выражение а А означает утверждение «Объект а принадле­жит множеству А».

Для любых объектов множество этих объектов обо­значается через

(2.1)

где а {а} — истинное утверждение; {а} а — ложное утверж­дение.

Другая форма обозначения состоит в указании общего свойст­ва объектов, из которых образуется множество. Оно имеет вид

(2.2)

и читается так: «Множество всех х таких, что Р (х),где Р означает свойство, характеризующее в точности все элементы данного мно­жества». Например, партия ЭА одной и той же структуры, т.е. серии, является множеством М.

Два множества считаются равными тогда и только тогда, ко­гда они состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим кратко простые теоретико-множественные поня­тия и операции: пересечение, объединение, дополнение, декарто­во произведение и др.

Пустое множество — ϕ:

(2.3)

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Отношение между множеством М и любым его под­множеством N называется включением и обозначается символом М ⊇ N или N ⊆ M.

При испытании на надежность выпущенной партии ЭА од­ной структуры, представляющей множество М, делается выбор­ка. Произвольно из партии выбираются несколько изделий и про­водятся испытания. Выборка изделий будет являться подмноже­ством N.

Отметим следующие элементарные утверждения о поняти­ях подмножества и включения, прямо вытекающие из опреде­ления:

1. Каждое множество М является подмножеством самого се­бя — М ⊆ M. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М. Соот­ветствующее включение называется собственным и обозначается ⊃
или ⊂: М ⊃ N или N ⊂ M.

Принято считать, что пустое множество ϕ является подмноже­ством любого множества М.

2. Отношение включения транзитивно, т. е. из N ⊆ М и Р ⊆ N следует Р ⊆ М. Транзитивно также отношение собственного вклю­чения.

3. Очень важно не смешивать отношение принадлежности ∈ и включения ⊆: если {а} ⊆ М, то а ∈ М, и наоборот, но из {а} ⊆ М не следует {а}∈ М.

Пример. Пустое множество ϕ не имеет элементов х ∉ М для любого объекта х. Между тем ϕ содержит одно подмножество, а именно само себя.

 

2.3.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: