Марковские процессы в теории надежности

Марковские процессы играют чрезвычайно важную роль в раз­личных приложениях. Хотя эти процессы представляют собой весьма специальный класс случайных процессов, значение их для теории надежности, особенно для решения задач прогнозирова­ния характеристик надежности, очень велико. При определении характеристик надежности оборудования сложных технологиче­ских систем в процессе эксплуатации и прогнозирования остаточ­ного ресурса наибольший интерес представляют процессы Марко­ва с непрерывным временем, которые и будут здесь рассмотрены.

Марковское свойство. В основе понятия марковского процесса лежит представление об изменяющихся во времени системах, обла­дающих свойством «отсутствия последействия» («отсутствия памя­ти»). Пусть имеется некоторое вероятностное пространство {Ω, ψ, P }. Время изменяется на некотором отрезке (интервале, полуинтерва­ле) τ (например, τ = [0, ∞]), содержащемся во множестве всех дейст­вительных неотрицательных чисел. Поток σ-алгебр за­дан, т. е. задано такое семейство σ-алгебр , что Задана также функция двух переменных со значениями в некотором измеримом пространстве (X, β) такая, что ξ(t) при каждом является измеримым отобра­жением пространства в (X, β). Тем самым задан случайный процесс ξ(t) подчиненный потоку σ-алгебр .

Случайный процесс ξ(t), подчиненный потоку σ-алгебр , обла­дает марковским свойством относительно этого потока, если при всех с вероятностью 1 выполняется соотношение

Такой процесс принято называть марковской случайной функ­цией. Измеримое пространство (X, Ψ)называется фазовым про­странством, а точки фазового пространства — состояниями.

Если ξ(t) интерпретировать как состояние некоторой системы в момент времени t, то марковское свойство означает, что такая система обладает свойством отсутствия последействия: при про­гнозировании поведения системы в «будущие» моменты времени по наблюдениям за системой во все «прошедшие» моменты време­ни вплоть до «настоящего» существенным является знание состоя­ния системы лишь в «настоящий» момент времени.

Вероятность перехода. Пусть — марковская случай­ная функция. Следствием марковского свойства и формулы пол­ной вероятности является соотношение

(5.17)

справедливое почти наверное относительно меры Р при всех и Это соотношение называется уравнени­ем Колмогорова — Чепмена.

Особый интерес представляет случай, когда для условной ве­роятности существует условная вероятность, т. е. такая функция что выполня­ются условия:

а) при фиксированных s, t, Г функция P (s, x, t, Г) является ве­роятностной мерой на (X, β);

б) при фиксированных s, t, Г функция P (s, х, t, Г) измерима;

в) с вероятностью 1 при всех s, t, Г

Если для данной марковской случайной функции существует функция P (s, х, t, Г), удовлетворяющая условиям (а...в), то она называется вероятностью перехода (переходной вероятностью). В терминах вероятности перехода уравнение Колмогорова — Чеп-мена запишется в виде

где

Определение марковского процесса. При изучении марков­ского свойства удобно не фиксировать начальное распределение процесса (да и сам начальный момент времени), а рассматривать целое семейство марковских случайных функций, «начинающих­ся» в произвольный момент времени в произвольной точке фазо­вого пространства. Это означает, что на вероятностном простран­стве имеется уже не одна фиксированная вероятностная мера, а семейство мер зависящих от временной и фазовой перемен­ных и связанных между собой марковским свойством. При этом мера интерпретируется как условная вероятность некоторого события, которое может произойти после момента времени s при условии, что ξ(s) = х.

Если заданы пространство элементарных событий се­мейство σ-алгебр функция двух переменных со значениями в измеримом пространст­ве (X, β) и семейство вероятностных мер на σ-алгебре , то система этих объектов называется марковским процес­сом при выполнении следующих условий:

1) при любых функция есть β-измеримая функция от х;

2) при любых с вероятностью выполнено соотношение

Строгая марковость. Случайную величину υ = υ(ω) со значе­ниями в (s, ∞) будем называть марковским моментом относитель­но потока σ-алгебр , если при всех выполняется условие . Марковские моменты называют иногда величинами, не зависящими от будущего, так как наглядно усло­вие означает, что наступление или ненаступление со­бытия зависит лишь от явлений, наблюдаемых в течение времени от момента s до момента t.

Марковский процесс ξ(t)в фазовом пространстве (X, β) назы­вается строго марковским, если выполнены следующие условия:

1) при фиксированном вероятность перехода P(s, x, t, Г) процесса -соизмеримой функции от (s, x, t)на множестве здесь σ-алгебра борелевских подмножеств полуоси [0, ∞];

2) для любых и произвольного марков­ского момента и относительно потока σ-алгебр выполнено соотно­шение

на множестве относительно меры

Другими словами, марковский процесс ξ = ξ(t)называется стро­го марковским, если для любого марковского момента времени и при условии ξ(υ) = х, где х — известное состояние, поведение про­цесса при t > υ не зависит от его поведения до момента υ, причем переход из х = ξ(υ) в то или иное состояние у через время h осуще­ствляется с такими же вероятностями, как и в случае фиксиро­ванного момента υ = s. Точнее, условная вероятность оказаться через время h в множестве Г равна

где P (s, х, t, Г) — вероятность перехода марковского процесса.

Если ξ(t) есть случайный вектор в n -мерном пространстве и его распределение вероятностей при условии ξ(s)= x имеет плот­ность , то

(5.18)

Условную плотность вероятности обычно называют переходной плотностью марковского процесса ξ(t).

Однородные марковские процессы. Марковский процесс ξ(t) называется однородным, если вероятность перехода P (s, x, t, Г) обладает тем свойством, что функция P (s, x, s + h, Г) не зависит от s. Если положить Р (h, х, Г) = P (s, x, s + h, Г), то для конечно­мерных распределений процесса будет иметь место равенство

 

Таким образом, вместо семейства мер зависящих от вре­менной и пространственной переменных, в однородном случае дос­таточно семейства мер зависящих лишь от пространст­венной переменной. Другими словами, каждый раз, когда процесс выходит из состояния х в момент времени s, мы производим сдвиг времени так, чтобы точка s стала начальной (нулевой). Естествен­но, что при этом необходимо сдвигать и все траектории процесса. Так как закономерности поведения однородного марковского про­цесса на любом интервале времени (s, t)при известном состоянии ξ(s)= х не зависят от расположения интервала (s, t)на временной оси, то для переходных вероятностей P(s, х, t, Г) это означает фак­тическую зависимость лишь от разности t — s, а не от t и s, как в общем случае P (s, x, t, Г) = P (t - s, x, Г).

Для однородного марковского процесса должны выполняться следующие условия:

1) при любых функция изме­рима как функция от х, причем

2) для любых от­носительно меры на множестве ;

3) для каждого найдется такое , что и при

Условие 2 соединяет свойство марковости процесса и свойство его однородности во времени. Условие 3 означает, что вместе с ка­ждой траекторией процесса произвольный кусок ее после некото­рого момента времени также является возможной траекторией.

Функция P (t, х, Г) — вероятность перехода однородного мар­ковского процесса - удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена:

(5.19)

где При этом

Если при , то вероятность пе­рехода называется нормальной, а соответствующий процесс — нормальным.

Инфинитезимальный оператор марковского процесса. Для изучения марковских процессов эффективным средством является теория полугрупп. Пусть ξ(t)— однородный марковский процесс в фазовом пространстве (X, β) с вероятностью перехода P (t, x, Г). Обо­значим через В (Х)банахово пространство во всех вещественных ограниченных β-измеримых функциях на X с нормой Рассмотрим на В (Х)семейство операторов определяемых формулой

Из свойств вероятности перехода следуют свойства семейства операторов :

1) при каждом является линейным ограниченным опе­ратором, отображающим В (Х)в В (Х), причем

2) при всех

3) если при всех то при всех и

4) если то

5) если при всех при , где причем то при

Семейство операторов , удовлетворяющих условиям 1 и 2, называется сжимающей полугруппой операторов. А всякий однородный марковский процесс в фазовом пространстве (X, β) порождает сжимающую полугруппу операторов удовле­творяющую условиям 3...5. В свою очередь, всякая сжимающая полугруппа операторов, действующих в В (Х)и удовлетворяющих условиям 3...5, порождает однородную вероятность перехода, при­чем

Оператор А полугруппы определяемый формулой

называется инфинитезимальным оператором марковского процес­са. Область определения оператора D_A состоит из всех тех функ­ций для которых предел

существует равномерно относительно . Очевидно, что

Свойства инфинитезимального оператора:

1) замыкание множества (в смысле сходимости по норме) совпадает с

2) если и

3) если то функция дифференцируема по t (t > 0) и

(5.20)

Уравнение (5.20) называется уравнением эволюции;

4) оператор A замкнут.

Инфинитезимальный оператор А является линейным операто­ром и позволяет перейти от нелинейных уравнений Колмогоро­ва — Чепмена к линейным уравнениям, которые могут быть интегро-дифференциальными уравнениями и уравнениями в част­ных производных параболического типа.

ВИДЫ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

При изучении сложных технологических систем, в том числе и ЭА, используют математические модели, основанные на марков­ских процессах. Основные понятия марковского процесса — со­стояние и переход системы из одного состояния в другое. Слож­ные системы в любой момент времени находятся в одном из воз­можных состояний. Состояние системы часто описывается числом работоспособных элементов. Если рассматривать переходы систе­мы из одного состояния в другое и точно пронумеровать их во вре­мени, поведение системы можно представить как процесс с дис­кретным временем.

Пусть система находится в одном из возможных состояний, где номер состояния системы Переход из одно­го состояния в другое называется шагом процесса. Для описания поведения системы достаточно внести набор условных вероятно­стей того, что осуществится переход из в и задать исходное состояние, в котором находилась система в начальный момент вре­мени. Обозначим через вероятность того, что система, находясь в момент s в состоянии z, в момент t окажется в одном из состоянии множества Г. Если дополнительные знания о системе в моменты не изменяют этой вероятности при любых s, z, t, Г, то мы имеем дело с марковским процессом.

Обоснование применения марковской модели:

§ если каждый из элементов системы имеет приблизительно экс­поненциальное распределение времени безотказной работы;

§ знание какой-либо предыстории системы не представляет боль­шой ценности для предсказания ее поведения в будущем.

Различают следующие основные виды марковских процессов: марковская цепь, марковская последовательность, разрывной мар­ковский процесс, непрерывный марковский процесс, дискретный марковский процесс.

Марковская цепь (дискретный марковский процесс с дискрет­ным временем): в этом случае время t принимает конечное или счетное множество значений и случайная величи­на может принимать на этом множестве дискретные значения Множества значений { } и { } могут быть конечными или бесконечными.

Марковская последовательность (непрерывный марковский процесс с дискретным временем) отличается от процесса первого вида тем, что случайная величина может прини­мать непрерывное множество значений.

Разрывной марковский процесс (дискретный марковский про­цесс с непрерывным временем): здесь Г(t) принимает дискретные значения а время t изменяется непрерывно в интер­вале [0, Т ], где Т — длина временного интервала, на котором задан процесс Г(t). Множество может быть конечным или счетным.

Непрерывный марковский процесс (непрерывный марковский процесс с непрерывным временем): здесь Г(t)принимает значе­ния из некоторого непрерывного множества, параметр t также из­меняется непрерывно.

Дискретный марковский процесс (дискретно-непрерывный марковский процесс). В данном случае при непрерывном измене­нии времени t случайный марковский процесс Г(t) в некоторые моменты времени имеет скачки, а на интервалах времени между скачками ведет себя как непрерывный марковский процесс.

Помимо перечисленных, воз­можны более сложные смешанные случайные марковские процессы.

При анализе надежности объ­ектов их функционирование обыч­но рассматривается как случайный процесс перехода объекта из одно­го состояния в другое, обусловлен­ный отказами и восстановлениями составляющих систему элементов. Этот процесс при определенных ус­ловиях может быть достаточно строго описан дискретным марков­ским

процессом. Поэтому при ана­лизе надежности объектов наиболь­шее распространение получили дис­кретные марковские процессы с непрерывным временем и конеч­ным числом состояний.

Отдельную реализацию дискретного марковского процесса мож­но представить графически в виде ступенчатой функции (рис. 5.1).

Процесс Г(t) может принимать только дискретные значения Смена этих значений - состояний процесса — проис­ходит в некоторые случайные моменты времени

Среди марковских процессов можно выделить так называемые процессы гибели и размножения, т. е. процессы отказа и безотказ­ности.

Рассмотрим функционирование восстанавливаемой системы при следующих предположениях:

1) поток отказов системы носит пуассоновский характер, и ин­тенсивность отказов равна X;

2) время восстановления системы является величиной случай­ной, распределенной по экспоненциальному закону где и — интенсивность восстановления;

3) система может находиться в двух состояниях: состоянии (работоспособности) и состоянии (ремонта).

Поведение системы с точки зрения работоспособности опишем графом переходов (рис. 5.2).

На рис. 5.2 кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) — направление переходов системы и вероятности этих переходов за бесконечно малый интервал времени.

Вероятности переходов в силу сделанных предположений и свойства показательного закона надежности не зависят от време­ни. Введем вероятности нахождения системы в состояниях 1 и 2 как Очевидно, что для любого момен­та времени. Рассмотрим поведение системы в интервале времени [0, t + ∆ t ].Тогда система в момент t + ∆t будет находиться в состоя­нии 1, если она в момент времени t находилась в этом состоянии и за время ∆t не наблюдалось отказов, а также если система в мо­мент времени t находилась в состоянии 2 и за время ∆t был закон­чен ее ремонт. Тогда по формуле полной вероятности

Так как

то

Аналогичные рассуждения приводят к уравнению

Предельный переход при дают дифференциальные урав­нения, описывающие поведение системы во времени:

(5.21)

Уравнения вида (5.21) получили название дифференциальных уравнений Колмогорова — Чепмена. Решая их, можно получить

что позволяет оценить вероятности состояния системы в зависи­мости от начального состояния:

(5.22)

При

(5.23)

Для сложной системы, состоящей из разнородных элементов, имеющих различные λ(t)и μ(t), операции составления полного набора радиусов-векторов вершин графа состояний и построение его прямых и обратных ребер могут быть формализованы и произ­водиться на компьютере.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что такое поток событий?

2. Что подразумевается под понятием «простейший поток»?

3. Расскажите о свойствах простейшего потока.

4. Каким условиям удовлетворяет поток Эрланга?

5. Как вы понимаете термины «случайная функция» и «случайный про­цесс»?

6. Какими характеристиками оценивается случайный процесс?

7. Назовите классы случайных процессов и дайте им краткую характе­ристику?

8. В чем отличие стационарных случайных процессов в широком и уз­ком смысле?

9. Что такое «эргодическое свойство» стационарного случайного про­цесса?

10. Расскажите о спектральном представлении случайных процессов.

11. Напишите аналитическое выражение для экспоненциального кор­релированного случайного процесса.

12. В чем преимущество канонического представления случайного про­цесса?

13. Назовите модели нестационарных случайных процессов.

14. Дайте определение марковскому процессу.

15. Как вы понимаете вероятность перехода марковского процесса из од­ного состояния в другое?

16. Расскажите о инфинитезимальном операторе марковского процесса и его свойствах.

17. Какие вы знаете виды марковских процессов?

18. Какие виды марковских процессов наиболее подходят для описания потоков отказов и восстановлений объектов?

19. Что такое процесс «гибели и размножения»?

20. Сделайте вывод дифференциального уравнения Колмогорова — Чепмена.

21. Оцените вероятность состояния объекта в зависимости от его началь­ного состояния.

 

 

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: