Марковские процессы в теории надежности
Марковские процессы играют чрезвычайно важную роль в различных приложениях. Хотя эти процессы представляют собой весьма специальный класс случайных процессов, значение их для теории надежности, особенно для решения задач прогнозирования характеристик надежности, очень велико. При определении характеристик надежности оборудования сложных технологических систем в процессе эксплуатации и прогнозирования остаточного ресурса наибольший интерес представляют процессы Маркова с непрерывным временем, которые и будут здесь рассмотрены. Марковское свойство. В основе понятия марковского процесса лежит представление об изменяющихся во времени системах, обладающих свойством «отсутствия последействия» («отсутствия памяти»). Пусть имеется некоторое вероятностное пространство {Ω, ψ, P }. Время изменяется на некотором отрезке (интервале, полуинтервале) τ (например, τ = [0, ∞]), содержащемся во множестве всех действительных неотрицательных чисел. Поток σ-алгебр Случайный процесс ξ(t), подчиненный потоку σ-алгебр Такой процесс принято называть марковской случайной функцией. Измеримое пространство (X, Ψ)называется фазовым пространством, а точки фазового пространства — состояниями.
Если ξ(t) интерпретировать как состояние некоторой системы в момент времени t, то марковское свойство означает, что такая система обладает свойством отсутствия последействия: при прогнозировании поведения системы в «будущие» моменты времени по наблюдениям за системой во все «прошедшие» моменты времени вплоть до «настоящего» существенным является знание состояния системы лишь в «настоящий» момент времени. Вероятность перехода. Пусть
справедливое почти наверное относительно меры Р при всех Особый интерес представляет случай, когда для условной вероятности а) при фиксированных s, t, Г функция P (s, x, t, Г) является вероятностной мерой на (X, β); б) при фиксированных s, t, Г функция P (s, х, t, Г) измерима; в) с вероятностью 1 при всех s, t, Г Если для данной марковской случайной функции существует функция P (s, х, t, Г), удовлетворяющая условиям (а...в), то она называется вероятностью перехода (переходной вероятностью). В терминах вероятности перехода уравнение Колмогорова — Чеп-мена запишется в виде где Определение марковского процесса. При изучении марковского свойства удобно не фиксировать начальное распределение процесса (да и сам начальный момент времени), а рассматривать целое семейство марковских случайных функций, «начинающихся» в произвольный момент времени в произвольной точке фазового пространства. Это означает, что на вероятностном пространстве имеется уже не одна фиксированная вероятностная мера, а семейство мер
Если заданы пространство элементарных событий 1) при любых 2) при любых Строгая марковость. Случайную величину υ = υ(ω) со значениями в (s, ∞) будем называть марковским моментом относительно потока σ-алгебр Марковский процесс ξ(t)в фазовом пространстве (X, β) называется строго марковским, если выполнены следующие условия: 1) при фиксированном 2) для любых на множестве Другими словами, марковский процесс ξ = ξ(t)называется строго марковским, если для любого марковского момента времени и при условии ξ(υ) = х, где х — известное состояние, поведение процесса при t > υ не зависит от его поведения до момента υ, причем переход из х = ξ(υ) в то или иное состояние у через время h осуществляется с такими же вероятностями, как и в случае фиксированного момента υ = s. Точнее, условная вероятность оказаться через время h в множестве Г равна где P (s, х, t, Г) — вероятность перехода марковского процесса. Если ξ(t) есть случайный вектор в n -мерном пространстве
Условную плотность вероятности Однородные марковские процессы. Марковский процесс ξ(t) называется однородным, если вероятность перехода P (s, x, t, Г) обладает тем свойством, что функция P (s, x, s + h, Г) не зависит от s. Если положить Р (h, х, Г) = P (s, x, s + h, Г), то для конечномерных распределений процесса будет иметь место равенство
Таким образом, вместо семейства мер Для однородного марковского процесса должны выполняться следующие условия: 1) при любых 2) для любых 3) для каждого Условие 2 соединяет свойство марковости процесса и свойство его однородности во времени. Условие 3 означает, что вместе с каждой траекторией процесса произвольный кусок ее после некоторого момента времени также является возможной траекторией. Функция P (t, х, Г) — вероятность перехода однородного марковского процесса - удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена:
где Если Инфинитезимальный оператор марковского процесса. Для изучения марковских процессов эффективным средством является теория полугрупп. Пусть ξ(t)— однородный марковский процесс в фазовом пространстве (X, β) с вероятностью перехода P (t, x, Г). Обозначим через В (Х)банахово пространство во всех вещественных ограниченных β-измеримых функциях на X с нормой
Из свойств вероятности перехода следуют свойства семейства операторов 1) при каждом 2) при всех 3) если 4) если 5) если при всех Семейство операторов Оператор А полугруппы называется инфинитезимальным оператором марковского процесса. Область определения оператора DA состоит из всех тех функций существует равномерно относительно Свойства инфинитезимального оператора: 1) замыкание множества 2) если 3) если
Уравнение (5.20) называется уравнением эволюции; 4) оператор A замкнут. Инфинитезимальный оператор А является линейным оператором и позволяет перейти от нелинейных уравнений Колмогорова — Чепмена к линейным уравнениям, которые могут быть интегро-дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных параболического типа. ВИДЫ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ При изучении сложных технологических систем, в том числе и ЭА, используют математические модели, основанные на марковских процессах. Основные понятия марковского процесса — состояние и переход системы из одного состояния в другое. Сложные системы в любой момент времени находятся в одном из возможных состояний. Состояние системы часто описывается числом работоспособных элементов. Если рассматривать переходы системы из одного состояния в другое и точно пронумеровать их во времени, поведение системы можно представить как процесс с дискретным временем. Пусть система находится в одном из
Обоснование применения марковской модели: § если каждый из элементов системы имеет приблизительно экспоненциальное распределение времени безотказной работы; § знание какой-либо предыстории системы не представляет большой ценности для предсказания ее поведения в будущем. Различают следующие основные виды марковских процессов: марковская цепь, марковская последовательность, разрывной марковский процесс, непрерывный марковский процесс, дискретный марковский процесс. Марковская цепь (дискретный марковский процесс с дискретным временем): в этом случае время t принимает конечное или счетное множество значений Марковская последовательность (непрерывный марковский процесс с дискретным временем) отличается от процесса первого вида тем, что случайная величина Разрывной марковский процесс (дискретный марковский процесс с непрерывным временем): здесь Г(t) принимает дискретные значения Непрерывный марковский процесс (непрерывный марковский процесс с непрерывным временем): здесь Г(t)принимает значения из некоторого непрерывного множества, параметр t также изменяется непрерывно. Дискретный марковский процесс (дискретно-непрерывный марковский процесс). В данном случае при непрерывном изменении времени t случайный марковский процесс Г(t) в некоторые моменты времени имеет скачки, а на интервалах времени между скачками ведет себя как непрерывный марковский процесс.
При анализе надежности объектов их функционирование обычно рассматривается как случайный процесс перехода объекта из одного состояния в другое, обусловленный отказами и восстановлениями составляющих систему элементов. Этот процесс при определенных условиях может быть достаточно строго описан дискретным марковским
Среди марковских процессов можно выделить так называемые процессы гибели и размножения, т. е. процессы отказа и безотказности. Рассмотрим функционирование восстанавливаемой системы при следующих предположениях: 1) поток отказов системы носит пуассоновский характер, и интенсивность отказов равна X; 2) время восстановления системы является величиной случайной, распределенной по экспоненциальному закону 3) система может находиться в двух состояниях: состоянии Поведение системы с точки зрения работоспособности опишем графом переходов (рис. 5.2). На рис. 5.2 кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) — направление переходов системы и вероятности этих переходов за бесконечно малый интервал времени. Вероятности переходов в силу сделанных предположений и свойства показательного закона надежности не зависят от времени. Введем вероятности нахождения системы в состояниях 1 и 2 как Так как то Аналогичные рассуждения приводят к уравнению Предельный переход при
Уравнения вида (5.21) получили название дифференциальных уравнений Колмогорова — Чепмена. Решая их, можно получить что позволяет оценить вероятности состояния системы в зависимости от начального состояния:
При
Для сложной системы, состоящей из разнородных элементов, имеющих различные λ(t)и μ(t), операции составления полного набора радиусов-векторов вершин графа состояний и построение его прямых и обратных ребер могут быть формализованы и производиться на компьютере. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ 1. Что такое поток событий? 2. Что подразумевается под понятием «простейший поток»? 3. Расскажите о свойствах простейшего потока. 4. Каким условиям удовлетворяет поток Эрланга? 5. Как вы понимаете термины «случайная функция» и «случайный процесс»? 6. Какими характеристиками оценивается случайный процесс? 7. Назовите классы случайных процессов и дайте им краткую характеристику? 8. В чем отличие стационарных случайных процессов в широком и узком смысле? 9. Что такое «эргодическое свойство» стационарного случайного процесса? 10. Расскажите о спектральном представлении случайных процессов. 11. Напишите аналитическое выражение для экспоненциального коррелированного случайного процесса. 12. В чем преимущество канонического представления случайного процесса? 13. Назовите модели нестационарных случайных процессов. 14. Дайте определение марковскому процессу. 15. Как вы понимаете вероятность перехода марковского процесса из одного состояния в другое? 16. Расскажите о инфинитезимальном операторе марковского процесса и его свойствах. 17. Какие вы знаете виды марковских процессов? 18. Какие виды марковских процессов наиболее подходят для описания потоков отказов и восстановлений объектов? 19. Что такое процесс «гибели и размножения»? 20. Сделайте вывод дифференциального уравнения Колмогорова — Чепмена. 21. Оцените вероятность состояния объекта в зависимости от его начального состояния.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|