Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Нормальний розподіл та його застосування в економічних розрахунках

Якщо відомий закон розподілу випадкової величини, то в принципі це дає можливість використоввати її в розрахунках як відому, тобто визначати (з деякою імовірністю) на основі математичних дій дані, що нас цікавлять (наприклад, визначити ступінь підприємницького ризику) по значенням середнього та дисперсії.

В економіці особливе місце обіймає нормальний закон розподілу випадкової величини, що часто називається законом розподілу Гаусса. Нормальний розподіл характеризується тим, що крацнє значення признаку (випадкової величини) в ньому всщэечаютш достатньо рідко, а значення, близькі до середньої величини – часто. Нормальним такий розподіл називається тому, що він дуже часто зустрічалося в природнонаукових дослідженнях і здається "нормою" будь-якого масового випадкового прояву.

Функція густини розподілу імовірності нормального розподілу визначається формулою

(11)

для всіх[увсіх] значень від до Можна показати, що чисельні параметри та , що входять до виразу (11), співпадають із генеральним середнім та генеральним среднєквадратичним відхиленням випадкової величини . Отже, параметр визначає положення центру розсіювання випадкової величини, що розподілена за нормальним законом, а параметр харктеризує міру її розсіювання відносно цетру.

Часто використовують іншу форму функції щільності імовірності нормального розподілу, яку можна отримати, якщо провести заміну змінної по формулі:

(12)

В цьому випадку , а , і інтегральна функція розподілу (функція Лапласа) має вигляд:

(13)

Властивості функції Лапласа:

1) при функція Лапласа визначає імовірність попадания нормальної випадкової величини з параметрами в інтервал ;

2) ;

3) - функція непарна.

Функція не залежить від конкретних значень та і тому може бути використана для обчислення імовірності любих випадкових величин, що підпорядковуються нормальному закону. Для складені таблиці, наявні практично в будь-якому підручникові по теорії ймовірності (додаток 1).

Якщо досліднику відомо, що економічний показник, що вивчається, підкоряється нормальному закону розподілу, то знання математичного очікування та дисперсії дає йому підставу здійснити прогноз розвитку економічної ситуації. Проілюструємо це на прикладі оцінки прибутковості акцій.

Нехай відомо, що середнє значення прибутковості акцій фірми В дорівнює 15% при средньоквадратичному відхиленні 3,87 %. Тоді, якщо припущення про нормальний закон розподілу дохідності виконується, то з імовірністю, близькою до одиниці, можна стверджувати, що прогнозована прибутковість по акціям фірми В буде лежати у діапазоні 15 11.61%. Подальші розрахунки покажуть, що імовірність попадания прибутковості в інтервал 15 7.74% (або до інргервалу ) складе приблизно 0.95, або 95%. Цей результат можна узагальнити. Взагалі, якщо випадкова величина підкоряється нормальному закону, те з імовірністю 0.95 результат будь-якого одиничного виміру лежить в межах . Фізично це означає, що при великій кількості спостережень за випадковою величиною, в будь-якій сотні з них 95 вимірів дадуть результат, що відхиляється від середнього значення не більш ніж на два стандартних відхилення. Можна також показати, що імовірність попадания одиничного спостереження в інтервал дорівнює 0.997. Тому найчастіше величину вважають максимально допустимою помилкою і відкидають результати експериментів, для яких величина відхилення від середнього перевищує це значення ("правило 3 сигм").

Математичне очікування і дисперсія вказують, де "в середньому" розташуються значення економічного показника, що вивчається, наскільки ці значення змінні і чи спостерігається переважна поява певних значень показника.

Нормальному розподілу, як вже відзначалося, притаманна симетрія. В тих випадках, коли будь-які причини сприяють більш частій появі значень, що вище або, навпаки, нижче середнього, утворюються асиметричні розподіли. При лівосторонній, або позитивній, асиметриї в розподілі частіше зустрічаються більш низькі значення признаку, а при правосторонній, або негативній (від'ємній), - більш високі.

Показник асиметриї обчислюється по формулі:

Для симетричних розподілів А=0.

В тих випадках, коли які-небуть причини сприяють переважній появі середніх або

близьких до середніх значень, утвориться розподіл з позитивним ексцесом. Якщо ж у розподілі переважають крайні значення, причому одночасно і більш низькі і більш високі, то такий розподл характеризується від’ємним ексцесом і в центрі розподілу утворюється вгнатість, яка перетворює його в такий, що має дві вершини.

Показник Е визначається по формулі:

В розподілах з нормальною опуклістю Е=0.

Розподіл Пуассона.

У більшості економічних вимірів результати представляються уявляються у вигляді функцій від дискретных величин. Таким вимірам притаманна одна загальна характерна властивість – кількість можливих наслідкив (наприклад, значень курсів валют) дуже велика, а кількість подій,що фактично відбуваються (біржові курси), навпроти, дуже мала. Таку ситуацію можна описати наступною математичною моделлю загального,

Проведена необмежено велика]серія випробувань, в результаті кожного випробування випадковим чином з'являється точка на числовій осі. Випадковий розподіл точок на числовий осі задовільняє наступним трьом властивостям:

1. Стаціонарність. Імовірність того, що на відрізок певної довжини попадає дана кількість точок, визначається тільки довжиною цього відрізка і не залежить від розташування цього відрізка на числовій осі.

2. Ординарність. Імовірність того, що на достатньо малий відрізок довжини попадає одна точка, є нескінчено малою порядку . Імовірність того, що на цей відрізок попадає більш ніж одаа точка, є нескінчено мала більш високого порядку, ніж .

3. Відсутність післядії. Імовірність того, що на даний відрізок потрапила певна кількість точок, не залежить від того, скільки точок в результаті проведеної нескінченої серії іспитів потрапила на відрізок, що не пересікається з даним.

Знайти імовірність того, що на даний відрізок довжини потрапляє точок.

Позначимо через - випадкову величину, яка дорівнює кількості точок, що потрапил на відрізок довжини . На числовий осі розглянемо відрізок довжини позначимо математичне очікування числа точок, що потрапили на цей відрізок, як

Розіб'ємо його на відрізків довжини

такої, що дозволить використати властивість ординарности. Тоді з певно похибкою, що тим менша, чим більше , можна вважати, що на відрізок довжини потрапляє йе більше ніж одна точка і

оскільки для достатньо малого відрізка імовірність попадания в нього однієї крапки є , а імовірність того, що нічого не відбудеться, дорівнює .

При зроблених припущеннях точок потрапляє]на відрізок довжини лише в одному випадку: коли в кожний з відрізків потрапляє по одній точці. Тоді на підставі 3-ї властивості ця імовірність дорівнює

Точну вероятность отроимаємо шляхом граничного переходу при числі поділів відрізка . Це буде означати крайню рідкість настання розглянутих подій. Внаслідок рідкості цих подій у певному інтервалі часу дані експерименту змінюються несуттєво. Повертаючись від загальної моделі до рідких подій ям в економічних процесах, ми можемо відзначити, що якщо один і той же економічний експеримент повторювати багатократно, то імовірність появи випадкової величини можна описати наступною залежністю:

Такий розподіл називається розподілом Пуассона. Він характеризується тільки одним параметром – середнім значенням . Між середнім значкнням і стандартним відхиленням існує наступна залежність:

На відміну від нормального розподілу розподіл Пуассона є дискретним і для малих значень йому властива значна асиметрія. Асиметрія дуже швидко зменшується із зростанням , і форма кривої розподілу Пуассона наближається до кривої Гаусса Тому для практичних задач можна використовувати нормальний розподіл уже при числі випробівань . Виявляється, що в цьому випадку 68.3% усіх значень економічного показника, що досліджується попадaє до інтервалу .

⇐ Предыдущая 24 25 26 27 282930 31 32 33 Следующая ⇒