Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Генеральні і вибіркові характеристики

Пануюче в сучасній економіці уявлення про раціональну поведінку економічної одиниці як норми економічної поведінки її в суспільстві (індивідуум прагне до максимального задоволення своїх потреб при даному бюджеті, фірма максимізує прибуток та ін.) в реальному житті не завжди реалізується. Випадки нераціональної поведінки з розгляду виключати не можна. Економічні показники та процеси потрібно розглядати у загальному випадку як випадкові величини і випадкові процеси, що вимагають їхньої статистичної інтерпретації. Основними елементами такого підходу є поняття випадкової величини і її ймовірності.

Означення 1. Випадковою величиною називається дійсна змінна, що в залежності від результату досліду, тобто в залежності від випадку, приймає різноманітні значення.

Будемо позначати випадкові величини великими літерами, а їхні можливі значення - відповідними малими літерами. Нехай - деяка випадкова величина. Імовірність того, що випадкова величина прийняла значення , будемо позначати як .

Випадкова величина називається дискретною, якщо в результаті випробування вона може прийняти значення з кінцевої або ліченої множини можливих числових значень.

Імовірносний простір дискретної випадкової величини задається у вигляді:

Тут верхній рядок – це сукупність можливих значень випадкової величини; нижній рядок – імовірності реалізації відповідних її значень.

Математичним очікуванням випадкової величини називається її значення, навкруги якого групуються всі значення випадкової величии

. (1)

Властивості математичного очікування:

Початковим моментом -го порядку випадкової величини називається математичне очікування випадкової величины .

Центрована випадкова величина - це величина, яка дорівнює

Центральним моментом -го порядку називається початковий момент - го порядку центнрованої випадкової величини

Дисперсією випадкової величини називається центральний момент другого порядку центрованої випадкової величини

Дисперсия є мірою концентрації результатів конкретних іспитів (випробувань) над випадковою величиною . Властивості дисперсії:

1. Чим менше дисперсія, тим більш тісно групуються результати конкретних іспитів відносно математичного очікування.

2. Якщо дисперсія дорівнює 0, те - const.

3. D (X+C)=D(X).

4. D (CX) = С² D (X).

Означення 2. Функцією розподілу випадкової величини називається функція:

(2)
Значення функції розподілу в точці , таким чином, дорівнює імовірності того, що випадкова величина приймає значення менше ніж . Випадкова величина вважається заданою, якщо задана її функція розподілу.

На практиці часто для неперервної випадкової величини використовують диференціальну функцію розподілу або функцію густини розподілу імовірності, яку визначають як наступну границю:

(3)
Із співвідношення (3) з урахуванням визначення (2) слідує, що

(4)
Побудуємо функцію розподілу для дискретної випадкової величини. Для зручності домовимось, що випадкові величини розташовуються в порядку зростання:

тобто по визначенню для будь-якого дійсного , чисельно дорівнює імовірності здійснення наступної події: в результаті випробувань над вона прийняла значення cтporo менше ніж :

Явище статистичної стійкості результатів спостережень має місце лише при великій (точніше - нескінченно великій) кількості вимірів. Цей факт складає зміст закону великих чисел. Проте у подавляючій кількості економічних експериментів доводиться мати діло лише з обмеженою, звичайно невеликою, кількістю спостережень. В силу випадковості величини, що визначені по малій кількості спостережень, взагалі кажучи, можуть не співпадати із тими же величинами, обчисленими по великійу кількості спостережень, виконаних в тих же умовах. Тому, щоб провести відмінність між характеристикою випадкової величини, яка знайдена по достатньо великій (загалом - нескінченно великій) і малій кількості спостережень, в математичній статистиці вводять поняття абстрактної генеральної сукупності, яка складається зі всіх можливих в даних умовах спостережень, і вибірки, яка являє собою сукупність обмеженого числа спостережень. У відповідності з цим розрізняють вибіркові характеристики випадкової величини, знайдені по обмеженому числу спостережень (вибірці) що залежать від її об’єму, і відповідні їм характеристики в генеральній сукупності, що не залежать від кількості спостережень. При цьому вибіркові характеристики розглядаються як оцінки відповідних характеристик в генеральній сукупності. Суттєво, що вибіркові характеристики випадкової величини на відміну від генеральних самі є випадковими величинами.

Для спільності будемо розглядати математичне очікування функції випадкової величини з функцією густини (щільності) імовірності .

Означення 3. Математичним очуківанням функції будемо називати вираз:

(5)

Математичне очікування виражає усреднення деякої функції за допомогою закону розподілу аргументу, що задається функцією щільності імовірності . Тому його називають також середнім значенням функції для генеральної сукупності або просто генеральним середнім значенням функції. Це є деяке число.

Для маємо математичне очікування випадкової величини:

(6)

Математичне очікування випадкової величини по визначенню є середнє значення для генеральної сукупності, або генеральне середнє . Відповідна вибіркова характеристика випадкової величини є середнє значення значень випадкової величини , що спостерігаються, тобто

(7)

яке називається також середнім арифметичним.

При оцінці результатів эконометричного експерименту застосовують майже виключно середнє арифметичне. Якщо вимірів достатньо багато, то таке середнє являє собою, як правило, достатньо добре наближення для генерального середнього. Однак середнє арифметичне не потрібно обчислювати для розподілів із декількома максимумами. В цьому випадку визначають срединне значення, що називається також медианою. Щоб знайти його, результати вимірів упорядковують по зростанню. Якщо кількість вимірів непарна, то медіана дорівнює серединному члену ряду. При парній кількості дослідів медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних членів упорядкованого ряду спостережень. Середнє значення – на відміну від середнього арифметичного – є нечутливим до тих даних експерименту, що різко вмділяються. Тому його краще використовувати для характеристики невеликих серій дослідів, коли є типовим прояв таких різко виділяющихся значень.

Характеристикою розкиду результатів експерименту відносно середнього частіше за все вважають стандартне відхилення. Стандартне відхилення – це результат обчислення вибіркової дисперсії.

Означення 4. Дисперсія випадкової величини для генеральної сукупності (генеральна дисперсія) визначається як математичне очікування фуекції :

(8)

де - функція щільності імовірності випадкової величини. Додатнє значення кореня квадратного з дисперсії, тобто , називається генеральним середнім квадратичним або стандартним відхиленням.

Вибіркову дисперсію спостережень випадкової величини в математичній статистиці прийнято визначати за виразом

(9)

де - середнє арифметичне по результатам вимірів.

Заміна на обумовлена тим, що число вимірів, як правило, обмежене і генеральне середнє є невідомим. Використання множника замість при визначенні вибіркової дисперсії викликане тим, що лише в цьому випадку виконується:

(10)

тобто випадкова величина буде мати математичне очікування, яке дорівнює дисперсії випадкової величини . Таким чином, і вибіркове середнє, і вибіркова дйсперсія обчислються по результатам вимірів і залежать від їхньої кількості. Цю залежність прийнято характеризувати числом ступенів свободи.

Число ступенів свободи вибіркової характеристики є повна кількість незалежних спостережень за виключенням числа зв'язків, які накладаються на результати спостережень при обчисленні розглядуваної характеристики. Оскільки вибіркова дисперсія виражається через вибіркове середнє ,яке і є зв'язком результатів і вимірів випадкової величини , то число ступенів свободи для дорівнює .

⇐ Предыдущая 23 24 25 26 272829 30 31 32 Следующая ⇒