 |
Довірчі інтервали та довірчі імовірності
|
|
|
|
Теореми 1 і 2 з попереднього параграфу хоч і є загальними, тобто сформульовані при достатньо широких передумовах, але не дають можливості встановити, наскільки близькі оцінки до параметрів, що оцінюються. З факту, що оцінки є спроможними, випливає лише те, що при збільшенні об'єму вибірки значення 
, наближається до 1.
Постають наступні питання:
1) Яким повинен бути об'єм вибірки 
, щоб задана точність б 
була гарантована з раніше прийнятою імовірністю?
2) Яка точність оцінки, якщо об'єм вибірки відомий і імовірність безпомилковості висновку задана?
3) Яка імовірність того, що при заданому об'ємі вибірки буде забезпечена задана точність оцінки?
Введемо декілька нових визначень.
Визначення 1. Імовірність виконання нерівності 
називається довірчою імовірністю, або надійністю, оцецки 
:
(17)
Перейдемо від нерівності до подвійної нерівності. Тоді довірчу імовірність можна записати у вигляді:
(18)
Так як 
(параметр,що оцінюється) – число постійне, - величина випадкова, поняття довірчої імовірності можна сформулювати так: довірчою імовірністю 
називається імовірність того, що інтервал 
накриває параметр, що оцінюється.
Визначення 2. Випадковий інтервал у межах якого з імовірністю Знаходиться параметр, що оцінюється, називається довірчим інтервалом 
, який відповідає коефіцієнту довіри :
(19)
Надійність оцінки може задаватися заздалегідь, тоді, знаючи закон розподілу випадкової величини, що вивчається, можна знайти довірчий інтервал . Вирішується і зворотна задача, коли по заданому знаходиться відповідна надійність оцінки.
Нехай, наприклад, 
, тоді число 
показує, з якою імовірністю висновок про надійність оцінки є помилковим. Число 
називається рівнем значимости. Рівень значимости задається заздалегідь в залежності від конкретного випадку. Зазвичай 
приймають рівним 0.05; 0.01; 0.001.
|
|
|
З’ясуємо, як побудувати довірчий інтервал для математичного очікування нормально розподіленої ознаки. Було показано, що
Оцінимо математичне очікування за допомогою вибіркової середньої 
, враховуючи, що також має нормальний розподіл. Маємо:
(20)
а по формулі дли нормального розподілу одержуємо:
Тоді з урахуванням дисперсії середнього маємо:
Для зручності користування таблицею функції Лапласа покладемо
або
(21)
Інтервал
(22)
накриває параметр 
з імовірністю .
У більшості випадків середнє квадратическое відхилення 
ознаки, що досліджується невідоме. Тому замість при великій вибірці (
) застосовують виправлене вибіркове середнє квадратическое відхилення 
, що є, в свою чергу, оцінкою - 
. Довірчий інтервал буде мати вигляд:
Приклад. З імовірністю знайти довірчий інтервал для 
- норми прибутку фірми. Розподіл задається таблицею, в якій замість інтервалів зміни 
взято їх середини у відсотках. Вважати, що випадкова величина прибутку підпорядкована
нормальному розподілу
| 7,5 | 8,5 | 9,5 | 10,5 | 11,5 | 12,5 | 13,5 |
|
Розв'язок. Вибірка велика (
). Маємо
Знйдемо точність оцінки:
Визначимо довірчі границі:
Таким чином, з надійністю = 0.95 математичне очікування норми прибутку знаходиться в довірчому інтервалі = (9.5%;10,3%).
Отже, у випадку, коли відомо,що економічний показник розподілений по нормальному закону і велика вибірка ( > 30), коли виправлене середнє квадратичне відхилення незначно відхиляється від середнього квадратического відхилення значення ознаки в генеральній сукупності, можна знайти довірчий інтервал. Але зробити велику вибірку вдається не завжди, та це й не завжди доцільно. З (22) видно, що чим менше , тим ширше довірчий інтервал, тобто залежить від об'єму вибірк .
|
|
|
|
|
|
