Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

економічної функції

У більшості економічних досліджень величина, що нас цікавить, безпосередньо не вимірюється, а розраховується як функція. Очевидно, що похибка шуканої величини при цьому визначається точністю задання аргументів відповідної функції.

Нехай є деяка економічна функція . Потрібно визначити абсолютну і відносну похибки функції по відомим похибкам аргументів.

Спочатку розглянемо функцію одного аргумента. Нехай . Вочевидь похибка аргумента повинна призвести до похибки функції . Це можна записати наступним чином

. (53)

Функцію, що стоїть в правій частині рівності (53), розкладемо в ряд Тейлора по ступеням :

Вважаємо далі, що модельні значення є досить точними, так що величина є малою порівняно з величиною . Тому можна відкинути члени другого і більш вищих порядків малості. Отримаємо

звідки

(54)

Приймаючи , можемо записати

(55)

Далі маємо

(56)

Таким чином, абсолютна похибка функції однієї змінної дорівнює абсолютній похибці аргументу, помноженій на похідну цієї функції, а її відносна похибка дорівнює похідній від її натурального логарифму, умноженій на абсолютну помилку аргументу (або просто диференціалу її натурального логарифму).

Приклад 1. При встановленні мінімальної допустимої ціни товару (послуги) використовується формула

Ц=С/(1-П), (57)

де С - витрати виробництва по даному товару (послузі);

П - мінімально прийнятна частка прибутку в ціні.

Потрібно визначити похибку прогнозу ціни, якщо собівартість розрахована з точністю до однієї грошової одиниці, а П =0,5.

Визначимо спочатку значення функції ціни Ц, вважаючи, що зміни в структурі собівартості неможливі і С =50. Тоді

Ц =50 / (1-0,5) = 50 / 0,5 = 100 (гр. од.).

У відповідності до формули (55) абсолютна помилка розрахунку

По формулі (57) відносна похибка прогнозного розрахунку

Цю ж величину ми отримали б, якби скористалися формулою (56)

Таким чином, отримаємо що в даних умовах ціну необхідно призначати в межах від 98 до 102 грошових одиниць.

Визначення абсолютної і відносної похибки функції декількох змінних є узагальненням операції з функцією однієї змінної. Нехай

функція декількох змінних, де аргументи – визначені в досліді приблизні і спрогнозовані величини. Відкидаючи члени високих порядків малості в розкладі в ряд Тейлора отримуємо

звідки

(58)

Вважаючи, що всі похибки мають однаковий знак, отримаємо вираз для граничної абсолютної похибки функції кількох змінних

(59)

В практичних розрахунках значення часткових похідних у формулі (59) знаходяться в точках, які відповідають результатам вимірів, або при середніх значеннях аргументів, якщо було кілька вимірів.

Для отримання граничної відносної похибки функції обидві частини функції (58) ділять на

Таким чином, гранична абсолютна похибка функції незалежних змінних дорівнює модулю повного диференціалу від натурального логарифму цієї функції.

На практиці, використовуючи властивість інваріантності форми першого диференціалу, при визначенні граничної відносної похибки діють таким чином:

¨ логарифмують вираз, який визначає функцію;

¨ користуючись властивістю диференціалу від натурального логарифму, ліву частину записують як відношення ; а праву – у вигляді . Заміняють диференціали скінченими приростами, всі доданки беруть зі знаком „плюс” і отримують вираз для розрахунку відносної похибки.

Приклад 2. Необхідно визначити допустимий розкид в ціні одиниці продукції, що розраховується по формулі прикладу 1, якщо розкид собівартості складає 10%, а норма прибутку визначена по прогнозу рівня інфляції із точністю 2%.

Керуючись наведеним порядком визначення відносної похибки (а в нашому прикладі – відносного розкиду, або коефіцієнта варіації, який характеризує ризик фінансової операції), логарифмуємо вираз для розрахунку ціни:

Диференціюємо обидві частини рівняння

Переходимо до скінчених приростів, а для встановленя граничного розкиду цін всі доданки берем зі знаком „плюс”

Таким чином, відносний розкид ціни дорівнює сумі похибок у визначенні собівартостей і прогнозі бар’єрного рівня прибутку. Якщо в умовах нашого прикладу П =0,2, то , або 20%.

⇐ Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 4243