Уравнения Лагранжа первого рода
Воспользуемся условием (3.3) для выражения реакций идеальных голономных связей. Перепишем (3.3) в виде
учтем, что возможные перемещения, обусловленные изменением декартовых координат (в соответствии с (1.4)), подчинены уравнениям
Каждое из этих уравнений умножим на соответствующий неопределенный множитель Лагранжа
Полученные выражения сложим
Вычтем (3.7) из (3.5):
Выберем неопределенные множители Лагранжа
Дифференциальные уравнения движения точек механической системы в проекциях на оси декартовой координатной системы имеют вид
где
Система уравнений (3.11) называется уравнениями Лагранжа первого рода. Присоединив к системе из
будем иметь систему из В том случае, если на механическую систему наложены идеальные линейные неголономные связи, т.е. связи, в уравнения которых проекции скоростей входят линейно, последовательность действий по составлению соответствующих уравнений Лагранжа первого рода остается прежней.
Уравнения таких связей имеют вид
или
где Пусть на механическую систему наложено и
Следовательно, если эти Первые из этих уравнений умножим на соответствующий неопределенный множитель Лагранжа
Присоединив к системе из ПРИМЕР 3.2. (пример из параграфа 3 [3]). Две весомые материальные точки РЕШЕНИЕ. В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты точек
Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями
Из (3.18) с учетом первого уравнения (3.17), определим
Заметим, что уравнения (3.19) получаются из уравнений (3.18), если заменить
Приравняв между собой соответствующие выражения для
Введем сокращенные обозначения:
Тогда уравнения (3.17) и (3.22) перепишутся так:
Равенства (3.24) показывают, что в плоскости (
Согласно равенству (3.25) можно положить
Подставляя эти выражения в равенство (3.26) и учитывая равенства (3.24) и (3.27), найдем:
Тогда
Следовательно, в силу равенств (3.27) и (3.28), имеем:
Интегрируя, найдем
Из равенств (3.23), (3.27) и (3.30) окончательно получим:
(
Вопросы и задачи для самоконтроля 1. Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки. 2. Сформулируйте метод кинетостатики для механической системы? 3. Запишите общее уравнение динамики для механической системы. Сколько таких независимых уравнений можно записать для механической системы с 4. Запишите общее уравнение динамики для механической системы с идеальными геометрическими связями. 5. Для механических систем с какими типами связей справедливы уравнения (3.11)? 6. Возможно ли составление уравнений Лагранжа первого рода для механической системы с неголономными связями? Если это возможно, как должны выглядеть уравнения таких связей?
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|