Уравнение Лагранжа второго рода
Вывод уравнений Рассмотрим механическую систему из n материальных точек
Преобразуем оставшиеся слагаемые
Выражение в скобках представим так
где Таким образом, общее уравнение динамики с учетом (4.3), (4.1) и (1.2) можно представить в виде
Поскольку
Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ПРИМЕР 4.1. Используя Уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальное уравнение движения первого груза механической системы из примера 3.1. РЕШЕНИЕ. На рис.2.4 изображена механическая система с действующими на нее внешними силами. Выберем за обобщенную координату линейное перемещение первого груза. Уравнения кинематических связей останутся прежними:
Составим выражение для кинетической энергии механической системы:
При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.
Вынесем за скобки квадрат обобщенной скорости
При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате будет равна нулю, так как полученное выражение от обобщенной координаты не зависит. Частная производная от кинетической энергии по обобщенной скорости будет
Для вычисления обобщенной силы дадим системе возможное перемещение. Составим сумму работ всех внешних сил на соответствующих возможных перемещениях и вынесем возможное перемещение по обобщенной координате Выражение в квадратных скобках и есть обобщенная сила для возможного перемещения по выбранной обобщенной координате. После подстановки в (4.4) выражений для частных производных и обобщенной силы, а так же учета условия равновесия (см. пример 2.3), окончательно имеем Полученное уравнение совпадает с результатом решения примера 3.1. ПРИМЕР 4.2. (задача 48.26 из [5]). К концам нерастяжимой нити привязаны грузы А и В одинаковой массы РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система отличается от системы, рассмотренной в примере 2.4, индексами масс грузов. Она обладает двумя степенями свободы. Выберем, как и при решении примера 2.4, в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение
Уравнение кинематической связи были получены при решении примера 2.4
Составим выражение для кинетической энергии системы и возьмем соответствующие производные:
Выражения для обобщенных сил были получены при решении примера 2.4. Изменив индексы масс, (так как в задачах 46.21 и 48.26 из [5] они не совпадают) имеем:
Теперь составим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка
Сложим полученные уравнения и учтем результат дифференцирования уравнения кинематических связей
Очевидно, что груз К будет двигаться вниз, если числитель полученного выражения положителен, т.е. при
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|