Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала

Имея один и тот же конечный набор чисел, можно рассчитать либо спектральную функцию этого дискретного сигнала по формуле

 

(3.2),

либо его ДПФ по формуле

(5.3).

 

Разумеется, возникает вопрос о том, как связаны друг с другом эти два спектральных представления, полученные на основе одних и тех же отсчетов сигнала.

Сравнение формул (3.2) и (5.3) показывает, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

. (5.12)

 

По этой причине значения ДПФ иногда называют спектральными отсчетами.

Из соотношения (5.12) следует еще один важный вывод: если добавить к конечному набору отсчетов некоторое количество нулей, спектральная функция дискретного сигнала, естественно, не изменится, но ДПФ даст большее число спектральных отсчетов, соответствующих частотам, более тесно расположенным в интервале от нуля до частоты дискретизации.

Поясним сказанное на простом примере, вычислив ДПФ для отсчетов прямоугольного импульса при разном количестве концевых нулей (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Повышение спектрального разрешения ДПФ при дополнении сигнала нулями: сверху — исходный сигнал и модуль его ДПФ, снизу — сигнал, дополненный 16 нулями, и модуль его ДПФ

 

 

Растекание спектра

 

Как уже говорилось, при ДПФ предполагается, что последовательность отсчетов анализируемого сигнала является периодически продолженной вперед и назад во времени. При этом, если значения начальных и конечных отсчетов сигнала сильно различаются, при периодическом повторении на стыках сегментов возникают скачки, из-за которых спектр сигнала расширяется.

Это явление, называемое растеканием спектра (spectrum leakage), можно наглядно проиллюстрировать на простейшем примере вычисления спектра дискретного гармонического сигнала

(5.18)

Если анализируемая последовательность содержит целое число периодов гармонического сигнала (то есть если отношение является целым числом), то периодически продолженный сигнал представляет собой гармонические колебания (без скачков), а подстановка (5.18) в формулу ДПФ (5.3) показывает, что вычисленное ДПФ содержит лишь два спектральных отсчета, отличных от нуля:

.

Таким образом, аналогично спектру непрерывного гармонического сигнала, ДПФ отличается от нуля всего для двух значений п. Однако если отношение не является целым числом, спектр оказывается значительно более богатым. Этому можно дать простое объяснение: ведь в данном случае периодически продолженная последовательность уже не может являться набором отсчетов непрерывной синусоиды. Поэтому, в полном соответствии со свойствами преобразования Фурье, в спектре появляются дополнительные составляющие.

Построим графики дискретных сигналов, содержащих по 16 отсчетов гармонических сигналов с периодами, равными 4 отсчетам (периодически продолженный сигнал является периодическим, рис. 5.10 сверху) и 6 отсчетам (периодически продолженный сигнал содержит скачки, рис. 5.10 снизу), и покажем вид модуля их ДПФ:

Рис. 5.10. Дискретное преобразование Фурье для целого (сверху) и нецелого (снизу) числа периодов гармонического сигнала (слева — исходные последовательности, справа — модули их ДПФ)

 

Необходимо подчеркнуть, что причиной растекания спектра является именно периодическое продолжение анализируемого сигнала. Спектр одиночного фрагмента дискретной синусоиды, в соответствии с тем, что говорилось в главе 3, является периодической непрерывной функцией частоты. Эта функция имеет лепестковую структуру независимо от того, целое или нецелое число периодов укладывается в анализируемом сегменте. Однако дискретный ряд частот, на которых вычисляется ДПФ, может быть по-разному расположен относительно лепестков спектральной функции. В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками. При нецелом числе периодов такого не происходит. Для иллюстрации этого факта построим графики периодически продолженных сигналов, а также модулей их ДПФ и непрерывных амплитудных спектров одиночных фрагментов синусоиды (рис. 5.11):

Возможна еще одна трактовка причины растекания спектра. В этом случае мы не считаем анализируемый сигнал периодически продолженным, а предполагаем, что все содержащиеся в нем гармонические компоненты существуют и за пределами анализируемого фрагмента. Спектр такого сигнала представляет собой набор дельта-функций, а растекание спектра при ДПФ можно объяснить наличием боковых лепестков у АЧХ фильтров, соответствующих отдельным частотным каналам ДПФ (см. раздел «ДПФ как дискретная фильтрация», формулу (5.17) и рис. 5.6).

Рис. 5.11. Происхождение растекания спектра: слева — периодически продолженные сигналы, справа — амплитудные спектры одиночных сигналов (пунктирные линии) и модули ДПФ (кружочки)

 

ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------------------------------------------

Аналогичные проблемы, связанные с наличием боковых лепестков у АЧХ фильтров, соответствующих отдельным частотным каналам ДПФ, возникают при использовании ДПФ для синтеза дискретных фильтров (см. далее раздел «Синтез с использованием окон» главы 6).

 

Весовые функции

 

Для уменьшения растекания спектра при ДПФ применяются весовые функции (weighting functions), которые также называют окнами (window). В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию w(k), которая должна спадать к краям сегмента. Формула прямого ДПФ (5.3) при использовании весовых функций принимает следующий вид:

.

Роль весовой функции в этой формуле можно рассматривать с различных точек зрения.

Сначала проанализируем ситуацию во временной области. Если мы используем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при k = N/2) и плавно спадает к краям (k=0 и n=N-1), то это приведет к ослаблению эффектов, связанных с возникновением скачков сигнала при периодическом повторении анализируемой конечной последовательности, и, таким образом, к уменьшению растекания спектра.

Аналогичный вывод можно сделать, рассмотрев влияние весовой функции в частотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и весовой функции (см. раздел «Свойства дискретного преобразования Фурье»). Это приводит к тому, что пики, содержащиеся в спектре сигнала, несколько расширяются. Однако при этом становится возможно уменьшить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью применения весовых функций.

 

Прежде чем описывать различные окна, кратко определим основные параметры, которыми они могут характеризоваться.

Очевидно, что в идеальном случае спектр окна (или, что то же самое, АЧХ усредняющего фильтра) должен совпадать с АЧХ идеального фильтра нижних частот, имеющего предельно узкую полосу пропускания. Однако такой идеальный вариант невозможен. Спектр весовой функции конечной длительности отличен от нуля на бесконечном частотном промежутке. Иначе говоря, ограниченная по времени функция принципиально имеет неограниченный по частоте спектр. Справедливо и дуальное положение: функция с ограниченным по частоте спектром имеет бесконечную протяженность во времени.

Итак, идеального окна не существует, но качество реальных окон можно оценивать по степени их приближения к идеальному. Типичный вид временного окна и его спектра показан на рис. 1. Кривая спектра имеет основной лепесток в районе нулевой частоты, и далее идут боковые лепестки. Следует, однако, заметить, что существуют окна, спектр которых не имеет явно выраженных боковых лепестков. В этом случае ширину основного лепестка определяют условно по некоторому уровню модуля спектра.

 

Рис. 1. Пример усредняющего окна — окно Кайзера-Бесселя (а) и его спектр (б)

 

Идеальный усредняющий фильтр должен иметь предельно узкую полосу пропускания; соответственно этому реальное окно может быть охарактеризовано шириной основного лепестка спектра: чем меньше эта ширина, тем лучше окно. Сжатие функции по времени в а раз приводит к расширению ее спектра по частоте также в а раз. Поэтому качество окна определяют приведенной шириной основного лепестка F_h, равной произведению ширины основного лепестка АЧХ и длительности ВФ. Поясним смысл этого параметра. Пусть требуется подавлять пульсации сигнала в некотором частотном диапазоне, начиная с частоты f_c. Зная параметр окна F_h, находим, что длительность окна должна быть установлена равной T = F_h/f_c. Таким образом, чем меньше F_h, тем при прочих равных условиях более быстродействующий КИХ-фильтр может быть реализован на основе данного окна. Ширину основного лепестка будем определять по уровню максимального бокового лепестка.

Обратим внимание на то, что мы принимаем ширину основного лепестка равной полосе частот от нуля до f_h, т.е. рассматриваем физический спектр ВФ. Если же анализировать теоретический спектр ВФ, то он будет четно-симметричным и тогда основной лепесток АЧХ будет простираться от -f_h до +f_h, т. е. его ширина будет равна 2f_h.

Идеальный усредняющий фильтр должен иметь АЧХ с равными нулю боковыми лепестками. Реальные усредняющие окна мы будем характеризовать уровнем боковых лепестков h: отношением амплитуды наибольшего бокового лепестка к амплитуде основного лепестка. Часто уровень боковых лепестков измеряют в децибелах.

Рассмотрим, как изменяется в общем случае амплитуда боковых лепестков спектра усредняющего окна при увеличении частоты.

Как мы знаем, модуль спектра d-импульса имеет одно и то же значение на всех частотах. Поэтому, если бы в весовой функции окна присутствовала аддитивная составляющая в d-импульса, то амплитуда боковых лепестков спектра такого окна не убывала бы с ростом частоты. Реальные окна не имеют таких составляющих. Однако усредняющие окна могут иметь разрывы первого рода — скачкообразные изменения амплитуды. Это значит, что первая производная окна содержит d-импульсы. Интегрирование некоторой функции времени приводит к делению ее спектра на j2pf. Если производная функции содержит d-импульсы, то спектр этой производной не убывает с ростом частоты. А значит, спектр самой функции будет убывать обратно пропорционально частоте. В таких случаях говорят, что с увеличением частоты f спектр убывает со скоростью 1/f.

Если кривая окна не имеет разрывов, но имеет изломы, то это значит, что первая производная окна имеет разрывы первого рода, а вторая производная содержит d-импульсы. Спектр такого окна будет убывать со скоростью 1/f². Рассуждая таким образом, приходим к заключению, что если сама функция и ее первые n-1 производных не имеют разрывов, а n-я производная имеет разрывы первого рода, то спектр такой функции убывает со скоростью .

В настоящее время известно большое число усредняющих окон, предложенных в разное время различными авторами.

В таблице 1 даны параметры некоторых часто употребляемых окон. В этой таблице наряду с уровнем боковых лепестков h указаны также значения приведенной ширины основного лепестка по уровню боковых лепестков F_h> по уровню 0,71 (т. е. при спаде АЧХ на 3 дБ) и по уровню 0,99 (т. е. при спаде АЧХ на 1 %), а также скорость спада амплитуды боковых лепестков с ростом частоты и. Кроме того в таблице приведены номера формул, описывающих соответствующие окна.

 

Таблица 1. Параметры усредняющих окон

Вид окна	Формула	hL, дБ	Fh	F0,71	F0,99	u
Окно Дирихле	(231)	-13,3	0,82	0,44	0,07	1/f
Окно Бартлетта	(232)	-26,6	1,63	0,64	0,11	1/f2
Окно Парзена	(233)	-53,1	3,26	0,91	0,15	1/f4
Окно Ханна	(235)	-31,5	1,88	0,71	0,12	1/f3
Окно Хэмминга	(237)	-42,7	1,92	0,65	0,11	1/f
Окно Блэкмана	(239)	-58,2	2,83	0,82	0,14	1/f3
Окно Блэкмана -Хэрриса	(241)	-90,1	3,94	0,94	0,16	1/f3
Плосковершинное окно	(243)	-81,1	4,84	1,86	0,75	1/f
Окно Рисса	(245)	-21,3	1,28	0,58	0,10	1/f2
Окно Коши, а = 3	(246)	-30,8	3,25	0,67	0,11	1/f
Окно Римана	(247)	-26,5	1,51	0,62	0,10	1/f2
Окно Гаусса, а = 3	(248)	-55,9	3,34	0,80	0,13	1/f

 

Окно Дирихле, или естественное окно, — это П-образная весовая функция П(t,T):

.(231)

Предполагается, что окно Дирихле так же, как и все другие окна, описываемые в данном параграфе, действует на временном промежутке -Т/2<=t<=Т/2. За пределами этого промежутка g(t) =0. Вообще говоря, размерность весовой функции должна совпадать с размерностью частоты. Но обычно весовые функции, соответствующие усредняющим окнам, приводятся к виду, когда они не имеют размерности.

Спектр окна Дирихле, как известно, определяется формулой

.

 

Окно Бартлетта, или треугольное окно, — это свертка двух прямоугольников половинной длительности

; (232)

Частотная характеристика фильтра, соответствующего этому окну, равна квадрату спектра прямоугольника длительностью Т/2:

Окно Ханна (это окно называют также хэннингом) — это один период косинусоиды, приподнятой на величину амплитуды:

Для этого окна

Окно Хэмминга отличается от окна Ханна лишь коэффициентами

Соответственно и ЧХ этого окна имеет сходный

 

Окна Блэкмана, Блэкмана—Хэрриса и плосковершинное так же, как и окна Ханна и Хэмминга, описываются конечными тригонометрическими рядами. Для окна Блэкмана — Хэрриса коэффициенты ряда подобраны так, чтобы минимизировать уровень боковых лепестков. Возможны несколько вариантов коэффициентов для этого окна с разными параметрами h и F_h.

Плосковершинное окно сконструировано так, чтобы получить максимально плоскую вершину основного лепестка АЧХ. Это дает возможность использовать окно не только тогда, когда нужно выделить постоянную составляющую, но и тогда, когда выделению подлежит низкочастотная составляющая входного сигнала.

Наряду с упомянутыми известно достаточно большое число и других усредняющих окон: Рисса, Коши, Римана, Гаусса.

окно Гаусса:

где α — коэффициент, изменяя который, можно в некоторых пределах менять параметры окна.

Известны также окна, полученные путем перемножения или свертки более простых окон.

Все упомянутые здесь окна — непрерывные функции времени. Применяют дискретные или ступенчатые аналоги этих окон. Переход к дискретному или ступенчатому аналогу весовой функции мало влияет на параметры АЧХ, приведенные в таблице 1. Но такой переход приводит к периодическому повторению спектра. Вследствие этого основной лепесток АЧХ фильтра будет повторяться с периодом, равным частоте дискретизации.

 

ОПТИМАЛЬНЫЕ УСРЕДНЯЮЩИЕ ОКНА

Достоинством упомянутых в предыдущем параграфе окон является простота их математического описания и, как следствие, в некоторых случаях — простота реализации. Однако эти окна по многим критериям не являются наилучшими.

Известны также оптимальные в том или ином смысле окна.

При конструировании окна можно, например, стремиться минимизировать энергию боковых лепестков спектра. Оптимальное по этому критерию окно, описываемое с помощью вытянутых сфероидальных функций, было найдено Слепяном, Поллаком и Ландау.

Достаточно простая аппроксимация этого оптимального окна была предложена Кайзером и получила название окна Кайзера или окна Кайзера-—Бесселя. Окно Кайзера является оптимальным в том смысле, что оно обеспечивает минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

 

При синтезе усредняющего окна можно стремиться к уменьшению уровня боковых лепестков при заданной ширине основного лепестка. Это стремление является естественным, если учесть, что при оценке помехозащищенности измерительного устройства в качестве его количественной оценки приводят наименьшее значение коэффициента помехоподавления в некоторой полосе частот. Это значение соответствует наибольшему по уровню боковому лепестку АЧХ в рассматриваемой частотной полосе. Оптимальным в этом смысле является окно Дольфа-Чебышева, оно обеспечивает минимальный уровень боковых лепестков АЧХ h при заданной ширине основного лепестка F_h или минимальную ширину основного лепестка F_h при заданном уровне боковых лепестков h.

Все рассмотренные выше окна представляли собой непрерывные функции времени t. Отличительной особенностью окна Дольфа — Чебышева является то, что оно сразу было разработано в виде дискретной функции. Непрерывный аналог этой функции не найден.

 

Рис. 43. Зависимость приведенной ширины F_h, основного лепестка АЧХ от уровня боковых лепестков h_L для различных усредняющих ВФ

 

На рис. 43 в координатах h_L, F_h показаны точки, соответствующие различным типам усредняющих окон. Чем больше при заданном F_h или чем меньше F_h при заданном h_L, тем лучше окно. Естественно, что это положение справедливо, только если оцениваем качество окна по максимальному значению АЧХ h в полосе заграждения. При таком критерии самым эффективным является окно Дольфа - Чебышева.

 

ОКНА С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Реализация дискретных ВФ предполагает умножение входного сигнала на весовые коэффициенты и последующее суммирование получаемых произведений. Операция умножения упрощается, если весовые коэффициенты представляют собой малоразрядные целые числа. В частности, при использовании микропроцессоров переход к целочисленным весовым коэффициентам позволяет сократить время, затрачиваемое на операцию умножения, и тем самым повысить быстродействие. Рассмотрим возможность получения дискретных и ступенчатых усредняющих окон с целочисленными коэффициентами.

При переходе от непрерывных окон к дискретным, весовые коэффициенты а(n), в общем случае могут содержать как целую, так и дробную часть. С помощью ЭВМ можно находить приемлемые варианты целочисленных усредняющих окон путем перебора вариантов, полученных умножением весовых коэффициентов на некоторое постоянное число и последующим округлением произведений до целого числа.

В качестве примера рассмотрим весовую функцию, состоящую из 16 импульсов и обеспечивающую подавление помехи не менее чем на 60 дБ. Округление весовых коэффициентов приводит в общем случае к увеличению уровня боковых лепестков АЧХ, а следовательно, и к уменьшению коэффициента ослабления помех. Поэтому, чтобы обеспечить значение этого коэффициента не менее 60 дБ, возьмем весовую функцию-прототип с уровнем боковых лепестков АЧХ, равным -70 дБ. Поставим себе цель найти ВФ, весовые коэффициенты которой могли бы быть выражены однобайтным двоичным числом. Это значит, что весовые коэффициенты не должны быть более 255.

Рассчитаем по формулам весовые коэффициенты а(0)…а(7) (остальные 8 коэффициентов определяются из условий четной симметрии ВФ).

Например, они равны а(0)=1; а(l) = 4,19; а(2) = 11,21; а(3) = 23,04; а(4) = 39,17; а(5) = 57,06; а(6) = 72,68; а(7) = 81,83.

Умножим теперь эти коэффициенты на масштабирующую постоянную m, значение которой подбирается так, чтобы в итоге наибольший весовой коэффициент та (7) был равен одному из целых чисел, лежащих в диапазоне от 128 до 255. Значения коэффициентов ma(0)…ma(6) округляем до целых чисел а_int(n):

,

где Int — оператор взятия целой части числа; — константа, определяющая правило округления. Целесообразно поочередно подставлять одно из трех значений этой константы: =0,5 (в этом случае округление производится до ближайшего целого числа); =0,4 и =0,6 (при этом округление идет с тенденцией соответственно к меньшему или к большему числу).

Для каждого полученного таким путем набора целочисленных весовых коэффициентов рассчитываем АЧХ по формуле (251). После просмотра всех вариантов выбираем лучший. В данном случае наиболее приемлемые весовые коэффициенты а(0),..., а(7) оказались следующими 2; 9; 24; 50; 85; 124; 158; 178. Полученная ВФ с целочисленными коэффициентами обеспечивает подавление помех не менее чем на 64,5 дБ в полосе частот от fТ₂ = 0,18 до fT₂ = 0,82.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье

Дискретное преобразование Фурье довольно часто применяется при цифровой обработке информации. Поэтому важным фактором начинает выступать время реализации алгоритма ДПФ на имеющейся в распоряжении исследователя вычислительной машине. Особенно большое значение этот фактор приобретает при увеличении числа отсчетов анализируемого сигнала N. Действительно, в соответствии с формулой дискретного преобразования Фурье

для определения N значений последовательности требуется произвести примерно N² умножений и N² сложений [точнее, (N—1)² умножений и N(N—1) сложений]. Число операций возрастает пропорционально квадрату размерности ДПФ. Таким образом, с ростом N непропорционально быстро возрастает время расчета ДПФ на ЭВМ.

Идея быстрого дискретного преобразования Фурье (его обычно называют просто — быстрое преобразование Фурье — БПФ; английский термин — Fast Fourier Transform, FFT) заключается в следующем.

Если N не является простым числом и может быть разложено на множители, процесс вычислений можно ускорить, разделив анализируемый набор отсчетов на части, вычислив их ДПФ и объединив результаты. Делить исходную последовательность можно на любое количество частей. Таким образом, приведенный алгоритм позволяет уменьшить число операций в случае любого N, не являющегося простым числом. Степень ускорения вычислений зависит от числа фрагментов последовательности и является максимальной при делении на две части.

Если исходное число точек N равно целой степени числа 2, то последовательность а(п) длиной N разбивают на две последовательности а₁(п) и a₂(n) длиною N/2 каждая и находят для них ДПФ соответственно b₁(k) и b₂(k). Естественно, что число N при этом предполагается четным(обычно, но не обязательно). Затем по значениям b₁(k) и b₂(k) определяют N -точечное ДПФ b(k). Если эта последняя операция не потребует много времени, то тогда можно ожидать сокращения общей длительности вычислений. Действительно, обычным методом два ДПФ по N/2 точек можно найти заметно быстрее, чем одно N-точечное ДПФ, так как (N/2)²+(N/2)² < N². Подобным образом можно пойти и дальше: разделить пополам каждую из последовательностей а₁(п) и а₂(п), найти для них свои ДПФ и далее искать ДПФ b₁(k) и b₂(k), исходя из этих частных ДПФ. Очевидно, что такое деление можно проводить до тех пор, пока мы не получим последовательности, каждая из которых будет состоять всего из двух членов, ДПФ которых рассчитывается вообще без использования операций умножения (достаточно вычислить сумму и разность двух отсчетов). Число требуемых при этом пар операций «умножение — сложение» можно оценить как .Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы ДПФ уменьшаются в раз. При больших N это отношение становится весьма велико (например, 1024/log₂(1024) = 102,4, то есть при N=1024 достигается более чем 100-кратное ускорение).

 

При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (прореживание по времени либо по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге (основание БПФ).

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: