 |
Синтез фильтров по аналоговому прототипу
|
|
|
|
При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам — хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.
В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:
Метод инвариантных импульсных характеристик.
В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.
Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f2. Если частота f2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.
|
|
|
Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:
{hk}=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)
Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.
Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового — периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.
В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):
Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики
На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.
|
|
|
Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.
Пример
Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида
(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).
Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:
Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением
Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ
откуда частотный коэффициент передачи
Пример
Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью
()
Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию
()
Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.
Частотный коэффициент передачи фильтра
Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).
Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).
Рис.. Амплитудно-частотные характеристики фильтров:
а — аналогового; 6 — цифрового
|
|
|
Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ωа, относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ωц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству
-π/Δ<ωц< π/Δ
при сохранении общего вида АЧХ.
Пусть Kа(p) — передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р. Если воспользоваться связью между переменными z и р:
z = exp(pΔ),
то можно записать
p = (1/ Δ) ln z (чч)
Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.
Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида
(15.97)
устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной
z = exp(j ωц Δ),.
Тогда
откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:
(15.98)
Если частота дискретизации достаточно велика (ωцΔ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), 
. Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).
Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.
|
|
|
Пример
Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω сц = 1500 с-1. Частота дискретизации ω д = 10000 с-1.
Прежде всего определяем шаг дискретизации
Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юоа, связанную с со0д следующим образом:
По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:
Передаточная функция аналогового ФНЧ
Ка(р)
Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:
H(z)
Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)
Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f2=1/T2 к частоте среза фильтра fc. В данном случае f2/fс=10. Если, например, выбрать f2/fc=20, то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.
Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.
Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой fn дискретного фильтра можно найти из равенства (330)
Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.
|
|
|
|
|
|
