Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Разложение функций в степенные ряды

Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f (x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

1 + x + x ² + ¼ + xⁿ +¼

является геометрическим рядом со знаменателем x и, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x | < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x ² + ¼ + xⁿ +¼, (14)

Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.

В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) x на - z, получим

= 1 - z + z ² - ¼ + (-1) ⁿzⁿ +¼ (15)

при 0 £ | z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

Тогда

или

(16)

при | x | < 1.

При x = 1 разложение (16) принимает вид

(17)

но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x £ 1.

Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x = - z ², тогда

= 1 - z ² + z ⁴ - ¼ + (-1) ⁿz ² ⁿ +¼ (18)

Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

или =

= (19)

при | x | < 1.

Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но

т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.

Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.

Ряды Маклорена и Тейлора

Рассмотрим произвольную функцию f (x), определенную в заданном интервале | x - x ₀ | < R, и предположим для нее, что в точке x ₀ существуют производные всех порядков до n -го включительно. Будем искать многочлен n -степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функции f (x):

P_n (x) = a ₀ + a ₁(x - x ₀) + a ₂ (x - x ₀)² + ¼ + a_n (x - x ₀) ⁿ» f (x). (20)

Для этого потребуем, чтобы функция f (x) и ее n производных были равны значению многочлена P_n (x) и его производных в точке x ₀. Если x ₀ = 0, то

P_n (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ¼ + a_n xⁿ» f (x). (21)

Как видно из (21)

P_n (0) = a ₀ = f (0).

Для нахождения коэффициентов a_i (i = 1, 2, ¼, n) продифференци-руем (21) почленно:

= a ₁ + 2 a ₂ x + 3 a ₃ x ² + 4 a ₄ x ³ + ¼ + n a_n xⁿ ^-1 +¼,

= 2 a ₂ + 2×3 a ₃ x + 3×4 a ₄ x ² + ¼ + n ×(n -1) a_n xⁿ ^{-2 +}¼, (22)

……………………………………………………………

Как видно из (22) при x = 0: f¢ (0) = a ₁, f¢¢ (0) = 2 a ₂, f¢¢¢ (0) = 2×3 a ₃,

f ⁽⁴⁾(0) = 2×3×4 a ₄, ¼, f ⁽ ⁿ ⁾(0) = 2×3×4×¼× n a_n. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:

a ₀ = f (0), a ₁ = f¢ (0), a ₂ = , a ₃ = , a ₄ = , ¼, a_n = .

Приближение функции f (x) многочленом (21) примет вид (n! = 1×2×3×4×¼× n):

f (x)» f (0) + x + x ² + x ³ + ¼ + xⁿ. (23)

В тех случаях, когда функция f (x) или ее производные теряют смысл при x = 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f (x) многочленом (20) справедливо выражение:

f (x)» f (x ₀)+ (x - x ₀)+ (x - x ₀)² + (x - x ₀)³ + ¼

¼+ (x - x ₀) ⁿ. (24)

Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f (x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f (x) и соответствующего многочлена. Разность

f (x) - P_n (x) = r_n (x) (25)

называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f (x) в бесконечный степенной ряд

f (x) = f (x ₀) + (x - x ₀) + (x - x ₀)² + (x - x ₀)³ + ¼

¼ + (x - x ₀) ⁿ + ¼ (26)

при | x - x ₀ | < R.

Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x ₀ = 0 такой ряд был выведен Маклореном:

f (x) = f (0) + x + x ² + x ³ + ¼ + xⁿ + ¼. (26¢)

Разность между f (x) и суммой (n +1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член r_n (x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении x действительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы

. (27)

Замечание. Для непрерывной вместе со своими производными функции f (x), как правило, условие (27) выполняется и функция f (x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.

Пример 10. Разложить в ряд функцию f (x) = e^x. Все производные функции e^x равны e^x. Полагая x = 0, получим f (0) = = = = ¼ = 1. Подставляя эти значения в ряд (26¢), будем иметь разложение функции = e^x в ряд Маклорена:

(28)

Применяя к этому ряду признак Даламбера

Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости - (-¥, ¥).

Пример 11. Разложить в ряд функцию f (x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

, (29)

где x измеряется в радианах.

Пример 12. Разложить в ряд функцию f (x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

(30)

Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.

Пример 13. Разложить в ряд функцию f (x) = . Функция не определена при x = 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора (26) по возрастающим степеням (x -1) (при x ₀ = 1).