 |
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
|
|
|
|
Теория рядов имеет большое практическое применение ввиду возможности представления функции f (x) в виде бесконечного ряда более простых функций, в частности, степенного ряда.
а) Разложения, полученные в предыдущем параграфе, позволяют приближенно вычислять частные значения функции.
Пример 15. Вычислим 
. Полагая в разложении для функции ex значение x = 
, получим:
Если отбросить все члены, начиная с шестого, то погрешность вычисления будет меньше 
. Отсюда » 1,646.
Пример 16. Вычислить 
. Полагая в разложении для 
значение x = 
=0,17(4), получим
Если отбросить все члены, начиная с третьего, то погрешность будет по абсолютной величине меньше 
, тогда 
. Как видно из полученного результата, значение 
для малых углов сравнимо со значением угла (» x).
б) Используя разложения функций в степенные ряды, можно вычислять определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции.
Пример 17. Вычислить интеграл 
.
Разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (28) x на - x 2:
Интегрируя обе части равенства, получим
= 
При a = 1 погрешность вычисления интеграла, если отбросить все члены ряда, начиная с четвертого, составит по абсолютной величине 
.
в) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов используется тогда, когда непосредственное интегрирование дифференциального уравнения невозможно. В таких случаях прибегают к приближенному методу - представлению решения уравнения в виде суммы конечного числа членов ряда Тейлора или Маклорена. Разберем сказанное на примере.
Пример 18. Найти решение уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию y (0) = 0.
Найдем значение первой производной при x = 0: 
. Продифференцируем исходное уравнение:
|
|
|
.
Найдем значение второй производной при x = 0: 
. Этот процесс можно продолжить. Подставляя значения производных в ряд (26¢), получим
Увеличивая число слагаемых можно получить приближение для y (x) с любой степенью точности.
1) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения
| Метод решения | |||
| Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными: | 
| почленное интегрирование. | |
| Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными | 
| приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование. | |
| Линейное дифференциальное уравнение первого порядка | 
| с помощью подстановки.
 , где  ,  , 
сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
|
| Метод решения | |||
| Уравнение Бернулли |  , где 
| с помощью подстановки.
, где , ,
сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
| |
| Однородное дифференциальное уравнение первого порядка | 
| подстановка.
 , где  , 
|
2) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
| Метод решения | ||
| y '' + py ' + qy = 0, где p, q – const | с помощью характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0, имеющего корни k 1 и k 2 |
3) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
| Корни характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0 | Фундаментальная система решений. | Общее решение уравнения y '' + py ' + qy = 0 |
| 1 k 1 ≠ k 2 – действительные различные числа. |  ; 
| 
|
| 2 k 1 = k 2 = k – действительные одинаковые числа. |  ; 
| 
|
3  , 
– комплексно-сопряжённые числа, 
|  , 
| 
|
4) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
| Метод решения | ||
| y '' + py ' + q = f (x), где p, q – const | Структура решения:  , где
yоо – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному;
yчн – некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.
|
|
|
|
5) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами
| Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн |
1. 
| k 1 ≠ k 2, а ≠ k 1 а ≠ k 2 | 
|
| k 1 ≠ k 2, причем а = k 1, а ≠ k 2 или а ≠ k 1, а = k 2 | 
| |
| k 1 = k 2 = α | 
| |
 – многочлен той же степени, что и  , с неизвестными коэффициентами
| ||
2  ; а = 0
| а ≠ k 1, а ≠ k 2 |
|
| а = k 1, а ≠ k 2 или а ≠ k 1, а = k 2 | 
| |
3  A, B, β– заданные числа
| k 1,2 ≠ а ± β i ( )
а =0
|  ,
M, N – неизвестные постоянные
|
k 1,2 = а ± β i ( )
а =0
|  ,
M, N – неизвестные постоянные
|
| Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн | |
4 
где 
а  β i -комплексные числа, составленные по виду правой части исходного дифференциального уравнения.
|
|
| |
| 
| ||
 – многочлены одной и той же степени m с неизвестными различными коэффициентами.
| |||
Задание. Найти частное 
решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию: 
Решение
1) Разделим обе части уравнения на 
- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого 
Общее решение данного уравнения найдем в виде 
- неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.
2) 
, получаем уравнение:
; 
(*)
3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство 
- дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. 
, разделим переменные 
Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:
, так как 
, полагаем с =0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно 
4) Подставим 
в уравнение
; 
; 
- разделим переменные
, интегрируем обе части равенства: 
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Итак, 
5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.
|
|
|
при 
, получаем равенство
, так как 
, то 
.
Следовательно, 
Ответ: 
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка 
, удовлетворяющее начальным условиям 
Решение
1) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ): 
Характеристическое уравнение: 
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни. 
- мнимая единица
Общее решение ЛОДУ: 
2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид 
- многочлен второй степени, еах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:
Подставим 
в данное ЛНДУ уравнение:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:
Отсюда 
, поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид
3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:
6) Виды дифференциальных уравнений и методы их решения
| Метод решения | |||
| Дифференциальное уравнение с разделёнными переменными: |
| почленное интегрирование. | |
| Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными |
| приведение к уравнению с разделёнными переменными, интегрирование. | |
| Линейное дифференциальное уравнение первого порядка |
| с помощью подстановки.
, где , ,
сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
|
| Метод решения | |||
| Уравнение Бернулли | , где
| с помощью подстановки.
, где , ,
сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
| |
| Однородное дифференциальное уравнение первого порядка |
| подстановка.
, где ,
|
|
|
|
7) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
| Метод решения | ||
| y '' + py ' + qy = 0, где p, q – const | с помощью характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0, имеющего корни k 1 и k 2 |
8) Вид общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
| Корни характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0 | Фундаментальная система решений. | Общее решение уравнения y '' + py ' + qy = 0 |
| 1 k 1 ≠ k 2 – действительные различные числа. | ;
|
|
| 2 k 1 = k 2 = k – действительные одинаковые числа. | ;
|
|
| 3 ,
– комплексно-сопряжённые числа,
| ,
|
|
9) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
| Метод решения | ||
| y '' + py ' + q = f (x), где p, q – const | Структура решения: , где
yоо – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному;
yчн – некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.
|
10) Вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами
| Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн |
| 1.
| k 1 ≠ k 2, а ≠ k 1 а ≠ k 2 |
|
| k 1 ≠ k 2, причем а = k 1, а ≠ k 2 или а ≠ k 1, а = k 2 |
| |
| k 1 = k 2 = α |
| |
| – многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами
| ||
| 2 ; а = 0
| а ≠ k 1, а ≠ k 2 |
|
| а = k 1, а ≠ k 2 или а ≠ k 1, а = k 2 |
| |
| 3 A, B, β– заданные числа
| k 1,2 ≠ а ± β i ( )
а =0
| ,
M, N – неизвестные постоянные
|
| k 1,2 = а ± β i ()
а =0
| ,
M, N – неизвестные постоянные
|
| Правая часть уравнения | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения уравнения yчн | |
| 4
где
а β i -комплексные числа, составленные по виду правой части исходного дифференциального уравнения.
|
|
| |
|
|
| ||
| – многочлены одной и той же степени m с неизвестными различными коэффициентами.
| |||
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:
Решение
2) Разделим обе части уравнения на
- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого
Общее решение данного уравнения найдем в виде - неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.
2) , получаем уравнение:
; (*)
3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
|
|
|
, разделим переменные
Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:
, так как
, полагаем с =0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно
4) Подставим в уравнение
; ; - разделим переменные
, интегрируем обе части равенства:
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Итак,
5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.
при , получаем равенство
, так как , то .
Следовательно,
Ответ:
Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям
Решение
2) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):
Характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.
- мнимая единица
Общее решение ЛОДУ:
2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид - многочлен второй степени, еах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:
Подставим в данное ЛНДУ уравнение:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:
Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид
3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:
|
|
|
