 |
3. Алгоритмы вычисления обобщенных расстояний
|
|
|
|
Текущее задание
3. Приведите собственные примеры оценок одномерных количественных характеристик (параметров) объектов, выражаемых различными единицами измерений. Используйте примеры из сферы Ваших научных интересов: агрономия, биология, агрохимия, механика, экономика, лесное хозяйство, зоотехния, ветеринария и др.
4. Приведите примеры, в которых данная проблема представлена в контексте применения многомерных методов для описания многопараметрических объектов: высота, площадь, масса и т. п.
ВНИМАНИЕ!
ПРИМЕЧАНИЕ:
Дать основное содержание метода координат (геодезия, геометрия, высшая математика)
При этом принимается условие о том, что таких признаков может быть неограниченное количество (на современном этапе развития теоретических положений метода это не определено), но при этом все объекты должны характеризоваться одним и тем же набором параметров (признаков), т. е. должны располагаться в едином многомерном пространстве, каждая точка которого характеризуется (описывается, определяется) одним и тем же набором координат. Значение признака может быть равным «нулю», когда признак отсутствует (количество колючек на единице длины побега у неколючих особей или плотность волосков на единице площади листовой пластинки при отсутствии опушенности и т. п. ). В этом случае координата признака (величина или длина соответствующего вектора) равна «нулю», но сам признак не отсутствует в системе отсчета как координатный элемент. Это условие является одним из основных условий проведения такого анализа.
Необходимо обеспечить наличие одинакового набора анализируемых признаков у каждого из объектов многомерного комплекса сравнения. Лесоводственнные объекты (насаждения, отдельные деревья или их клоны), не имеющие (по той или иной причине), хотя бы одной из характеристик, должны исключаться из схемы опыта (Булыгин, 1978, Никитин, 1978; Лейтас, 1983; Петров, 1984; Марущак, 1991; Насонов, 1996; Бессчетнова, 2006; 2011; 2014; 2015). Организация комплекса должна предусматривать такой подход, при котором каждый многомерный объект описывался однозначными оценками учитываемых параметров, каждая из которых имела отношение только к данному объекту (насаждению, лесничеству, плюсовому дереву и т. д). То есть каждый из объектов в ходе первичного изучения получает некоторый, но одинаковый для всех объектов, набор количественных характеристик, число которых определяет мерность собственно многомерного пространства признаков. Следовательно, принципом формирования числовых массивов должно явиться то, что относительно каждого из признаков существовала возможность вычисления оценок корреляции и ковариации со всеми остальными признаками объектов в многомерном комплексе сравнения. Вычисление на этих условиях обобщенных расстояний между объектами в многомерном пространстве признаков позволяет дать для комплекса анализируемых объектов сопоставимые оценки того, насколько близко или отдаленно друг от друга объекты расположены в заданном для анализа многомерном пространстве.
|
|
|
При выборе признаков для многомерного анализа следует исходить из того, что объекты, их носители, должны иметь некоторую принципиальную общность и системность характеристик (принадлежность к одному биологическому виду и к одинаковой селекционной категории, размещение на одном лесном участке, одинаковый возраст, одинаковую степень развития учитываемых метамеров и т. п. ).
ПРИМЕР.
В соответствии с этим в исследованиях, проводимых кафедрой лесных культур Нижегородской ГСХА, между собой сопоставлялись вегетативные (либо семенные) потомства плюсовых деревьев сосны обыкновенной, размещенные в границах отдельного архива клонов (например, архив № 12) или одной лесосеменной плантации (например, ЛСП № 24).
|
|
|
Текущее задание
3. Приведите примеры возможного достижения принципиальной общности и системности характеристик анализируемых Вами многомерных объектов.
ПРИМЕЧАНИЕ.
Отсюда следует, что при сборе исходного материала для комплексного анализа по методу многомерных векторов в евклидовом пространстве необходимо организовать абсолютно идентичные условия снятия исходной информации (как по набору анализируемых признаков, так и по точности замеров и отсчетов) с каждого варианта каждой повторности каждого из объектов комплекса.
Поскольку многомерное евклидово пространство подразумевает собственно мерность самого пространства по всем его направлениям – количественную оценку координат каждой точки в системе многомерного пространства, то используемые в анализе признаки должны быть представлены количественной оценкой (скалярными величинами): диаметр ствола – 24 см, высота ствола – 31 м, масса 1000 штук семян – 20 г и т. д. и т. п.
Использование качественных признаков в методе, основанном на количественных оценках самих признаков, не предусмотрено. Теоретических разработок в этой части метода крайне мало.
Возможный путь преодоления данного ограничения основан на том, что если признак является качественным, то ему следует присвоить количественную оценку и выразить в единицах значений той или иной статистической шкалы (номинальной, порядковой и т. д. ).
ПРИМЕР.
Форму шишек сосны обыкновенной (овальную, коническую, шаровидную или иную) можно выразить через производный признак – коэффициент формы: как отношение длины шишки к её максимальному диаметру.
Текущее задание
5. Приведите примеры возможной количественной оценки качественных характеристик объектов из сферы Ваших научных интересов через различные производные признаки.
Мозг человека способен воспринимать пространство только в трехмерном виде. Поэтому зрительно или образно нам трудно представить многомерные статистические пространства. Давайте абстрагироваться от этой проблемы. Примером такой абстракции выступает возможность компьютерных программ (например, ФОРТРАН-77) работать с семимерными массивами данных. Мы можем создавать программы, использующие семимерные массивы, однако никто из нас не в состоянии представить такое многомерное пространство.
|
|
|
Формализация исходной информации в данном методе предусматривает представление её в форме массива цифровых данных, набранного в памяти компьютера. Исходным носителем информации выступает журнал первичных наблюдений за объектом в рамках поставленного эксперимента или организованного наблюдения.
Одной из особенностей, расширяющей возможности такого анализа, является возможность применения как прямых признаков, непосредственно снимаемых с объекта в процессе эксперимента или наблюдения, так и производных – косвенных (или относительных) – признаков получаемых путем преобразования прямых признаков путем их нормирования, логарифмирования, потенцирования или получения отношения (в той или иной показательной степени) одного признака к другому или к их комплексу или к их преобразованной величине.
Относительные количественные признаки – это признаки, которые невозможно зарегистрировать в момент проведения наблюдений или лабораторных экспериментов. Они фиксируются путем промежуточных вычислений в результате математических действий между несколькими прямыми признаками. Целесообразность применения наряду с прямыми относительных признаков состоит в том, что с их помощью удается получить более показательные и информативные данные, чем оперируя одними прямыми признаками. Указанные признаки наиболее полно описывают линейные и удельные параметры, массу и форму изучаемых частей и органов плюсовых деревьев, позволяют более детально обозначить расхождения между ними в этом отношении, дать косвенную количественную оценку таким показателям, как плотность или удельная масса, и качественным идентификаторам, таким как форма, а также различным отношениям и коэффициентам. Подобный подход к организации научных исследований в лесном хозяйстве используется достаточно широко, и правомерность привлечения производных признаков признают многие исследователи (Семериков, 1974; Горчаковский, 1982; Чмыр, 1998; Ильичев, 1999; Котуранов, 2004; Lian Yong Shan, 1989). В частности предлагаются отношение учтенного значения признака к его среднему значению (Ильичев, 1999) и отношение ширины шишек к их длине (Куприянов, 1968; Пугач, 1968; Видякин, 1991 а, б, в; 2004). Отношение высоты к диаметру многими авторами (Медведев, 1884, 1910; Высоцкий, 1962; Габеев, 1973; Наквасина, 1999; Мальщукова, 2003) рассматривается как показатель биологического состояния древесных растений и достижения ими биологического равновесия, который косвенно характеризует внутренние процессы роста, пропорцию стволов, реакцию на изменение условий произрастания. Сохранение деревьями определенных пропорций ствола в процессе своего развития весьма важно (Эйтинген, 1918; Третьяков, 1937; Воропанов, 1956, 1973). Для их оценки используют индекс напряженности роста (Высоцкий, 1962), являющийся отношением высоты дерева к площади поперечного сечения его ствола, через которое осуществляется транспорт физиологических растворов от корней к кроне. Отношение высоты к диаметру и высоты к площади поперечного сечения характеризуют не только габитус, но косвенно отражают площадь жизненного пространства особи и несут информацию о внутренних процессах роста, характере распределения потоков вещества и энергии между органами. Чем больше величина отношения длины к диаметру или площади поперечного сечения, тем больше прирост в высоту над приростом по диаметру и тем больше питательных веществ направляется деревом на образование верхушечных побегов (Демаков, 2002 а). когда сравниваемые клоны находятся в условиях полного освещения и не испытывают бокового отенения, способствующего усилению роста в высоту при обострении конкурентных отношений, показатель отношения высоты к диаметру или к площади поперечного сечения сможет дать надежную оценку способности растений к преимущественному росту в высоту. Наиболее простыми и надежными параметрами степени развития ассимиляционного аппарата древесных растений является относительная протяженность кроны. Снижение значения показателей ниже определенного предела свидетельствует об ослаблении дерева и его конкурентной подавленности (Демаков, 2002а).
|
|
|
ПРИМЕР.
Примерами таких производных количественных величин могут выступать:
- отношение одного параметра объекта к другому, что часто называется коэффициентом показателя (коэффициентом формы плода – отношение длины к диаметру; коэффициентом формы листа – отношение длины к ширине, умноженной на 10 или нет; отношение семенных кроющих чешуй шишки к её длине и т. п. );
|
|
|
- произведение одного параметра на другой с использованием (или без такового) поправочных коэффициентов (коэффициент площади листовой пластинки – произведение её длины на ширину, умноженную на 10 для нивелирования перевода миллиметров в сантиметры или без такового преобразования и т. п. );
- суммарная величина линейных параметров (сумма длины плода и длины плодоножки, определяющая условия ручного сбора плодов облепихи, сливы, вишни и др. );
- отношение одного параметра к преобразованному значению других: отношение массы к суммарной длине плода и плодоножки; отношение количества хвоинок в пучке (у лиственницы) к их средней длине, произведение количества хвоинок в пучке на их среднюю длину и т. п., включая логарифмы, степенные значения, суммы, произведения, отношения и т. п.;
- отношения к экстремумам и к средним значениям, как в положительной, так и в отрицательной показательной степени (видовые числа, нормы оптимума и т. п. );
- относительные количественные оценки: среднее количество колючек (шипов, плодов и т. п. ) на единице длины побега, среднее количество хвоинок в пучке (в одном брахибласте) и т. п.;
- видовое число – отношение объема ствола (вычисленного по одной из формул или определенному весовым или ксилометрическим способом) к объему цилиндра, построенного на круге, диаметр которого равен диаметру ствола на высоте груди или другой оценке диаметра;
- редукционное число – отношение диаметра ствола учетного или модельного дерева к среднему диаметру ствола в насаждении;
- коэффициент сбега ствола;
- коэффициент формы ствола;
- нормированные и центрированные безразмерные и однородные значения признаков, используемые непосредственно или в качестве аргумента преобразования.
В первоочередную задачу научного исследования входит составление (формирование) исходного массива (комплекса) информации по всем анализируемым объектам в форме двухмерной или многомерной матрицы (таблицы).
Для достижения цели этого этапа исследования организуется эксперимент (с объектом или объектами) или наблюдение (за объектом или объектами), вследствие которого удается получить информацию о комплексе признаков объекта в количественном выражении (первичную лесоводственную информацию в форме количественных оценок всех признаков или параметров всех вариантов и повторностей эксперимента или наблюдения).
Полученный таким путем материал подвергается первичной статистической обработке и оценке по основным статистикам: средней арифметической (геометрической, гармонической, медиане, моде и т. п. ); среднеквадратическому отклонению, выраженному в соответствующих размерных единицах (сантиметрах, граммах, штуках и т. д. ) и на его основе коэффициенту вариации, выраженному в процентах; критерию достоверности (критерию Стьюдента) и показателю точности опыта в процентах и др.
При условии статистической достоверности полученного материала и его статистических оценок формируется рабочий массив информации о характеристиках свойств объектов, входящих в комплекс сравнения. Он состоит из сведенных в единую матрицу (таблицу) оценок (средних величин) каждого из признаков всех объектов комплекса сравнения: как прямых признаков, так и производных признаков.
Именно этот массив подвергается дальнейшему анализу методом комплексной сравнительной оценки на основе теории многомерных векторов в многомерном евклидовом пространстве.
3. Алгоритмы вычисления обобщенных расстояний
Расстоянием (метрикой) между объектами в многомерном пространстве признаков признается такая величина dab, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) dab > 0,
2) daa = 0;
3) dab = dba;
4) dab + dbc ≥ dac (однако это требование не является конструктивным и практически никогда не учитывается в расчетах).
Мерой близости (сходства) объектов в многомерном пространстве называется величина μ ab, которая имеет предел и возрастает с возрастанием близости объектов; она должна удовлетворять следующим условиям:
1) μ ab – непрерывна, т. е. малому изменению положения точек в пространстве отвечает малое изменение меры;
2) μ ab = μ ba;
3) 0 ≤ μ ab ≤ 1; μ ab = 1 ↔ a = b (если a = b).
Переход от оценок взаимного расположения объектов в пространстве (и, следовательно, оценок степени их близости или отдаленности) по расстоянию между объектами к оценкам в мерах близости осуществляется посредством достаточно простого преобразования посредством потенциальной функции:
|
|
|
